Reguläre Fläche (Area) [Geometrie]

27.11.2010, 13:21

Thomas00

Reguläre Fläche (Area) [Geometrie]

Hallo miteinander!

Ich hätte eine Frage zu folgendem "Satz" (oder einfach zu folgender Behauptung):
Sei f: U --> IR eine differenzierbare Funktion, $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ offen. Dann ist M:= Graph(f) eine reguläre Fläche.

Warum (oder: wie) kann man nun aber daraus schliessen, dass:
$\begin{eqnarray*} Area(M) = \int_U \! \sqrt{1+||grad f||^2} \, dxdy \end{eqnarray*}$ ist?

Liebe Grüsse,
Thomas

27.11.2010, 15:06

Lampe16

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RE: Reguläre Fläche (Area) [Geometrie]
Hallo Thomas,
hier eine kleine Inspiration! Nimm als Beispielfläche die lineare Funktion z(x,y)=1+2x+3y. Jetzt stell Dir ein Rechteck dx*dy in der x-y-Ebene vor und berechne den Inhalt des Stücks von z(x,y), das dx*dy als Projektion in der x-y-Ebene hat.
Tipp dazu: Parallelogrammfläche mit Vektorprodukt ermitteln. Das Ergebnis müsste Dich zu der diskutierten Formel mit grad führen, wenn Du Dich von den Zahlenwerten löst.

27.11.2010, 16:50

Thomas00

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RE: Reguläre Fläche (Area) [Geometrie]
Also, eine Parallelogrammfläche ergibt sich ja aus:
$\begin{eqnarray*} | \vec{a} | \cdot h = | \vec{a} | | \vec{b} | sin(\alpha) \end{eqnarray*}$
wobei a, b Seitenlängen sind, h die Höhe und Alpha der Winkel zwischen a und b.

Wie ich nun aber auf die Darstellung mit dem Grad kommen sollte, ist mir etwas schleierhaft..

27.11.2010, 17:29

Lampe16

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RE: Reguläre Fläche (Area) [Geometrie]

Zitat:

Original von Thomas00
Also, eine Parallelogrammfläche ergibt sich ja aus:
$\begin{eqnarray*} | \vec{a} | \cdot h = | \vec{a} | | \vec{b} | sin(\alpha) \end{eqnarray*}$
...

Ja, genau. Der Term mit dem $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ ist auch der Betrag des Kreuzprodukts $\begin{eqnarray*} \vec{a}\times\vec{b} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ kannst Du mit dem Flächenelement und dem Gradienten in Verbindung bringen.

27.11.2010, 22:38

Thomas00

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RE: Reguläre Fläche (Area) [Geometrie]
Stimmt.
Der Sinus kann als Kreuzprodukt dargestellt werden - das wollt' ich noch schreiben smile

Aber wie ich a und b mit dem Flächenelement und dem Gradienten in Verbindung brigen kann...ist mir irgendwie noch schleierhaft.

27.11.2010, 23:03

Lampe16

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RE: Reguläre Fläche (Area) [Geometrie]
Ich gebe Dir die beiden Vektoren an, die das Flächenstück aufspannen, von dem $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}x\mathrm{d}y \end{eqnarray*}$ die Projektion in der $\begin{eqnarray*} x-y- \end{eqnarray*}$ Ebene ist.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \mathrm{d}x \\ 0 \\ f_x\mathrm{d}x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \mathrm{d}y\\ f_y\mathrm{d}y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren ist gleich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -f_x \\ f_y \\ 1 \end{pmatrix} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$

und der Betrag davon der Inhalt des Flächenelements. Die Indizes x oder y bezeichnen die partiellen Ableitungen.

Jetzt erst einmal Gute Nacht. Ich schaue moren wieder 'rein.

27.11.2010, 23:51

Thomas00

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RE: Reguläre Fläche (Area) [Geometrie]
Vielen Dank für die Hilfe! smile

Wie aber kommt man davon auf den Grad(f) bzw. auf das Integral?

Gute Nacht und bis morgen smile

28.11.2010, 10:17

Lampe16

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RE: Reguläre Fläche (Area) [Geometrie]
Moin Thomas00,

Zitat:

Original von Thomas00
Vielen Dank für die Hilfe! smile

Wie aber kommt man davon auf den Grad(f)

In 2D ist der Gradient definiert durch
$\begin{eqnarray*} \mathrm{grad} f(x,y)=\begin{pmatrix} f_x(x,y) \\ f_y(x,y)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Sein Betragsquadrat ist gleich
$\begin{eqnarray*} ||\mathrm{grad} f||^2=f_x^2 +f_y^2. \end{eqnarray*}$

In meinem letzten Beitrag hatte ich geschrieben:
Das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren ist gleich
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -f_x \\ f_y \\ 1 \end{pmatrix} \mathrm{d}x \mathrm{d}y \end{eqnarray*}$
Der dazu gehörige Betrag ist gleich
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y=\sqrt{1+||\mathrm{grad} f||^2} \mathrm{d}x \mathrm{d}y. \end{eqnarray*}$
Dieser Ausdruck ist gleich dem Inhalt des Flächenelements.

Zitat:

Wie aber kommt man davon ...auf das Integral?

Der Inhalt des Flächenelements, integriert über das x-y-Gebiet der Fläche, ergibt den gesuchten Inhalt der Fläche.

28.11.2010, 14:39

Thomas00

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Ahh...vielen - vielen - vielen herzlichen Dank!

Ich habe soeben auch meinen fatalen Lese- / Schreibfehler entdeckt.
Obwohl ich hier die Aufgabe richtig geschrieben habe, notierte ich in meinen Notizen ständig "Graph" statt "Grad" - eyeyey..logisch, ergibt die Aufgabe dann keinen Sinn :P

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