Ähnlichkeit von Matrizen

27.11.2010, 13:34

SternchenJulia

Ähnlichkeit von Matrizen

Meine Frage:
Hallo,
die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen:
Für welche(s) $\begin{eqnarray*} b \in R \end{eqnarray*}$ sind die beiden Matrizen $\begin{eqnarray*} <br /> A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <br /> A'= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nicht ähnlich? Wie lautet die Ähnlichkeitstransformation, wenn der Parameter b so gwählt wird, dass A und A' zueinander ähnlich sin?

Meine Ideen:
Auf der Suche nach einer Lösung hab ich schon herausgefunden, dass die Matrizen für $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ nicht ähnlich sind.
Aber wie komme ich darauf, welche Kriterien müssen Matrizen erfüllen um ähnlich zu sein?
Ist es richtig, dass die die selben EW haben müssen und regulär sein müssen?
Achja, ich weiß auch noch, dass Matrizen ähnlich sine, wenn man $\begin{eqnarray*} A'=CAC^{-1} \end{eqnarray*}$ lösen kann.
Ich hoffe, dass ich hier Hilfe bekomme und damit weiterkomme
Julia

27.11.2010, 13:58

jester.

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Hallo,

du kannst natürlich "mit Gewalt" die Lösungen des Gleichungssystems $\begin{eqnarray*} CA'=CA \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Es geht aber auch abstrakter. Kennst du zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen den Zusammenhang zwischen Ähnlichkeit und der Minimalpolynom?

Andererseits, wenn du die Transformationsmatrix bestimmen musst, wirst du eh um die Rechnung nicht herumkommen.

Du hast damit Recht, dass ähnliche Matrizen die selben Eigenwerte haben müssen. Sie müssen jedoch mitnichten regulär sein. Auch singuläre Matrizen können zueinander ähnlich sein - lediglich die Transformationsmatrix, hier mit $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ bezeichnet, muss invertierbar sein.

27.11.2010, 14:07

SternchenJulia

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Hey,
nein Minimalpolynom hab ich leider noch nie gehört,
hab ich in anderen Forenbeiträgen auch gelesen, aber das hatten wir in der Vorlesung noch nicht.
Und woher weiß ich für welche b es nicht geht?
Dann versuch ich mich mal daran $\begin{eqnarray*} CA'=CA \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.
In der nächsten Aufgabe steht:
Zwei Matrizen haben die gleiche Spur, die gleiche Determinante und die gleichen Eigenwerte. Ist diese Bedinugung notwendig oder hinreichend für die Ähnlichkeit zweier Matrizen?
Wie gehe ich da vor?

27.11.2010, 14:11

jester.

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Zitat:

Original von SternchenJulia
In der nächsten Aufgabe steht:
Zwei Matrizen haben die gleiche Spur, die gleiche Determinante und die gleichen Eigenwerte. Ist diese Bedinugung notwendig oder hinreichend für die Ähnlichkeit zweier Matrizen?
Wie gehe ich da vor?

Löse am besten zuerst die erste Aufgabe, damit du für die zweite Aufgabe dann den Kopf frei hast.

Wenn es soweit ist, überlege dir zum einen mal ein paar Beispiele und suche zum anderen aus deinem Skript oder deiner Vorlesungsmitschrift die Eigenschaften von ähnlichen Matrizen zusammen, die du schon kennst.

Es wäre außerdem nett, wenn du demnächst pro Aufgabe einen eigenen Thread erstellen würdest.

27.11.2010, 14:22

SternchenJulia

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muss ich aber nicht, das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} A'C=CA \end{eqnarray*}$ lösen?
Ich multipliziere doch von der rechten Seiter her mit C und $\begin{eqnarray*} A'C \neq CA' \end{eqnarray*}$ , oder gilt das in diesem Fall nicht?

27.11.2010, 14:36

jester.

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Natürlich, entschuldige bitte. Du musst $\begin{eqnarray*} A'C=CA \end{eqnarray*}$ lösen.

27.11.2010, 14:42

SternchenJulia

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$\begin{eqnarray*} A'C=CA \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ b*c_{11}+c_{21} & b*c_{12}+c_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} c_{11} & c_{11}+c_{12}\\ c_{21} & c_{21}+c_{22}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
damit habe ich jetzt folgende Gleichungen erhalten:
I. $\begin{eqnarray*} c_{11} = c_{11} \end{eqnarray*}$
II. $\begin{eqnarray*} c_{12} = c_{11}+c_{12} \end{eqnarray*}$
III. $\begin{eqnarray*} b*c_{11}+c_{21} = c_{21} \end{eqnarray*}$
IV. $\begin{eqnarray*} b*c_{12}+c_{22} = c_{21}+c_{22} \end{eqnarray*}$
aus der II. Gleichung folgt: $\begin{eqnarray*} c_{11} = 0 \end{eqnarray*}$
die IV. Gleichung habe ich umgeformt in
IV. $\begin{eqnarray*} b*c_{12} = c_{21} \end{eqnarray*}$
hier hänge ich jetzt schon wieder...
Ich glaube, dass ich $\begin{eqnarray*} c_{22} \end{eqnarray*}$ frei wählen kann, iege ich damit richtig, weil die vierte Gleichung, die einzige in der es vorkommt, unabhängig davon ist.
WIe komme ich denn darauf welche b möglich sind?
Wenn ich die IV. Gleichung nach b auflöse erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} b= c_{21}/c_{12} \end{eqnarray*}$

27.11.2010, 14:51

jester.

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Du kannst in der Tat $\begin{eqnarray*} c_{22} \end{eqnarray*}$ frei wählen. Zudem hast du bereits $\begin{eqnarray*} c_{11}=0 \end{eqnarray*}$ und die Beziehung $\begin{eqnarray*} bc_{12}=c_{21} \end{eqnarray*}$ , d.h. du kannst entweder $\begin{eqnarray*} c_{12} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c_{21} \end{eqnarray*}$ noch frei wählen und erhältst das jeweils andere sofort aus dieser Gleichung. Damit bist du dann aber schon fertig.
Nach $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ aufzulösen hilft dir nicht weiter, da du die Lösungen für die $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ brauchst.

27.11.2010, 14:56

SternchenJulia

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Hm, okay, d.h. dann aber, dass die Matrix C auch wieder von b abhängt, richtig?
Wie komm ich nun drauf, welche Werte b annehmen kann?

27.11.2010, 15:07

SternchenJulia

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Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} c_{12}=c_{22}=1 \end{eqnarray*}$ gewählt und erhalte damit folgende Matrix:
$\begin{eqnarray*} C=\begin{pmatrix} 0 & 1\\b & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} C^{-1}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{b} & \frac{1}{b}\\1 &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Hier kann man jetzt auch sehen, dass gelten muss Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Ist das dann schon das endgültige Ergebnis?
Oder muss ich fpr die Ähnlichkeitstransformation noch was angeben?
So, muss jetzt aber auch schleunigst los, hab meinen Eltern versprochen, sie mal wieder zu besuchen, mach aber heute Abend auf jeden Fall noch weiter.
Schonmal danke für deine Hilfe
Julia

27.11.2010, 21:33

jester.

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Das ist ein mögliches Ergebnis für $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und mehr braucht man für eine Ähnlichkeitstransformation nicht.

Und du hast auch Recht, dass $\begin{eqnarray*} b\neq 0 \end{eqnarray*}$ sein muss.

28.11.2010, 13:33

SternchenJulia

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Yuchu, dankeschön.

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