Produktregel: 2. Ableitung von y=(1+x^2)^10

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'Laura* Auf diesen Beitrag antworten »
Produktregel: 2. Ableitung von y=(1+x^2)^10
Meine Frage:
Hallo,
Wie aus dem Titel schon deutlich wird, habe ich irgendwie Probleme die zweite Ableitung der Funktion y=(1+x^2)^10 zu bestimmen.
Habe es schon per Produktregel (wie unten zu sehen) versucht zu lösen aber es ging leider nicht...

Meine Ideen:
Hier mal mein Ansatz: Ich habe zunächst die erste Ableitung mittels Kettenregel bestimmt.
Heraus kam dabei: y'= 10*(1+x^2)^9 *2=20x*(1+x^2)^9.
Dies sollte auch eigentlich so stimmen.

Anschließend habe ich versucht die zweite Ableitung mittels Produktregel auszurechnen:
20 * (1+x^2)^9 + 20 * 9(1+x^2)^8 = 20(1+x^2)^9 + 180(1+x^2)^8.

Laut Lösung und Taschenrechner müsste jedoch folgendes Ergebnis herauskommen: y''=20(1+x^2)^8 * (1+19x^2).
Habe auch schon verschiedene andere Varianten mit der Kettenregel probiert aber irgendwie klappt nichts.
Ich hoffe irgendwer ist so lieb und kann mir helfen smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast beim Berechnen der zweiten Ableitung an einer Stelle die Kettenregel nicht beachtet und an einer anderen Stelle ein x unterschlagen. Das war's.
Jumper7 Auf diesen Beitrag antworten »

jup
kleine anmerkung : bei deiner ersten ableitung steht am ende *2 wobei das x fehlt in der umformung ists wieder da smile
also ich krieg für die 2te ableitung folgendes raus:
20* (1+x²)^9 + 20x*9* (1+x²)^8*2x
produkt und ketteregel , kann aber sein dass ich mich verrechnet hab...
'Laura' Auf diesen Beitrag antworten »

Sooo, nachdem mein alter Account leider nicht mehr für mich zugänglich war, melde ich mich jetzt auf diesem Wege.
Zunächst einmal aber danke für eure Hilfe smile .
Und natürlich sollte das eigentlich ein 2x in der Rechnung der ersten Ableitung sein.
Jetzt habe ich mein Problem leider immer noch nicht gelöst.
Wie genau wende ich denn jetzt die Kettenregel für die 1. Ableitung an?
Gibt es da eine bestimmte Formel?

Ich habe es über diesen Weg versucht die Produktregel mit der Kettenregel zu kombinieren, allerdings scheint mir dieser Ansatz ein wenig...naja merkwürdig.

20x * (1+x^2)^9 + 20 * 9(1+x^2)^8 * 2x

Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiss wie ich jetzt die beiden Gleichungen der Kettenregel definieren soll für f'(x).
In der Formel gilt ja: y= u^10 für u=1+x^2
Wie siehts dann in der 1. Ableitung aus? y=2x*u^9 für u=1+x^2 oder wie genau?

Hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt und nochmals vielen Dank für jede Hilfe.
Jumper7 Auf diesen Beitrag antworten »

hey
also ketten regel allgemein lautet: u(v(x)) abgeleitet = u'(v(x))* v'(x)
in worten äußere ableitung mal innere ableitung
(1+x^2)^10 auf dein beispiel angewendet (so wie dus bereits hast
ist die aüßere funktion also u --> v^10 abgeleitet = 10*v^9 und die innere v--> 1+x^2
abgeleitet = 2x dann das ganze zusammengefügt ergibt 10*(1+x^2)^9 *2x

die 2te ableitung ist wie du richtig festgestellt hast produkt regel also 20x * (1+x^2)^9
wobei du also einmal 20x ableitest mal (1+x^2)^9 + 20x mal ableitung von(1+x^2)^9 und für diese ableitung wieder die kettenregel anweden musst :P

hoffe ich hab nicht zuviel gelabert was du schon weißt, wollts nur ausfühlrich machen Augenzwinkern
'Laura' Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, etwas ausführlicher ist doch immer besser als zu wenig. Danke dafür Jumper smile
Also wäre es nach deiner Definition so? (Bei meinem Ansatz davor hab ich mich blöderweise vertan... :P)


y"=20 * (1+x^2)^9 + 20x * 9(1+x^2)^8 * 2x
= 20*(1+x^2)^9 + 20x * 18x(1+x^2)^8
=20*(1+x^2)^9 + 360 x^2 (1+x^2)^8

Falls dies richtig ist, wie komme ich denn von diesem Ergebnis auf y''=20(1+x^2)^8 * (1+19x^2) .
So wird es ja in der Lösung angegeben.

Und nochmals tausend Dank, ohne Hilfe wäre ich hier nämlich echt aufgeschmissen unglücklich .
 
 
Jumper7 Auf diesen Beitrag antworten »

y"=20 * (1+x^2)^9 + 20x * 9(1+x^2)^8 * 2x
= 20*(1+x^2)^9 + 20x * 18x(1+x^2)^8
=20*(1+x^2)^9 + 360 x^2 (1+x^2)^8

Falls dies richtig ist, wie komme ich denn von diesem Ergebnis auf y''=20(1+x^2)^8 * (1+19x^2) .
So wird es ja in der Lösung angegeben.

hmm alsO
gehn wir mal hier von aus weiter : 20*(1+x^2)^9 + 20x * 18x(1+x^2)^8=

20*(1+x^2)^8 * (1+x^2)^1+ 20* (1+x^2)^8 *18x²
jetzt 20*(1+x^2)^8
ausklammern=
20*(1+x^2)^8 * (1+x²+ 18x²)= 20*(1+x^2)^8 *( 1+19x²)
smile so hammas geschafft smile
'Laura' Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, habs jetzt verstanden auch wenn ich niemals darauf gekommen wär, dass mans so ausklammern könnte :P.
Danke für die ausführliche und vor allem verständliche Erklärung Jumper, sowas ist ja vor allem in Mathe nicht immer selbstverständlich. Big Laugh
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