Lineare Gleichungssysteme |
| 27.11.2010, 13:54 | Gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Lineare Gleichungssysteme Hallo Leute, ich habe noch ein paar Probleme mit Linearen Gleichungssystemen. z.b hier: 2x+3y+z=0 (b-1)*x+z=1 3x+y-z=b Untersuche für alle b Element R die Lösbarkeit. Hier weiß ich leider gar nicht wie ich anfangen muss. Okay die Klammer auflösen in der 2. Gleichung ist ja klar aber wie muss ich dann verfahren. Weiß leider überhaupt kein Anfang. Meine Ideen: Aufgabe 2: Löse das LG`s. 3x-y+2z=-18 x-y+3z=-2 2x+3y+z=-9 das sieht ja dann folgendermaßen aus oder....? \begin{vmatrix} 3 & -1 & +2 = -18\\ 1 & -1 & 3 = -2 \\ 2 & 3 & 1 =-9 \end{vmatrix} Vielen Dank euch allen, Gizmo |
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| 27.11.2010, 14:20 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Lineare Gleichungssysteme
Eliminiere zuerst z ( Gl. (1)+Gl. 3 und Gl.(1)-Gl.(2) ) und dann y. Dann hast Du noch eine Gl. mit der Unbekannten x und dem Parameter b. Löse die eine Gl. nach x auf und berechne auch y und z. Dann schau Dir die Ergebnis mit Blick auf b genau an. |
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| 27.11.2010, 14:32 | Gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber dann bleibt ja in der einen Gleichung x und bx stehen oder habe ich da einen Fehler. Bei mir heißt es dann "3x=4+3b-4bx" Vielen Dank für die Hilfe, Gizmo |
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| 27.11.2010, 14:44 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist schon richtig so. Die Gl. kannst Du nach x auflösen. D.h. x wird durch Zahlen und b ausgedrückt. |
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| 28.11.2010, 00:58 | Gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso. Dann ergibt das x=4+3b/(3+4b) !?!?! Und das Ganze muss ich nun wieder oben in 2 Gleichungen einsetzen? 
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| 28.11.2010, 09:51 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ergibt x=(4+3b)/(3+4b)
Ja! |
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| 28.11.2010, 11:34 | Gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay, habe dann mal weiter gemacht. Sorry das ich so oft nerve:-) x eingesetzt in folgende Gleichungen .... I: (8+6b)/(3+4b) +3y+z=0 III: 12+9b/(3+4b)+y-z=b . ....Additionsverfahren .... . -b+ (20+15b)/(3+4b)*(-4)=y y= -b+(20+15b)/(-12-16b) Einsetzen in !: (8+6b)/(3+4b) -3b + (60+30b)/(-12-16b) +z=0 z= (-8-6b)/(3+4b) +3b - (60-30b)/(-12-16b) Und nun .....
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| 28.11.2010, 11:50 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du bist auf einem guten Weg. ich gebe mal die richtigen Lösungen an, damit Du mit Deiner Rechnung vergleichen kannst: x =(3*b + 4)/(4*b + 3) y =(-3*b - 5 + b^2)/(4*b + 3) z =(3*b + 7 - 3*b^2)/(4*b + 3). Wo könnte jetzt noch ein Sonderfall auftreten? |
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| 28.11.2010, 21:19 | Gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, bei x kommen wir ja auf dasselbe. Leider komme ich auf die anderen beiden nicht bzw. kann sie noch nicht mal nachvollziehen. Kannst du mir zumindest bei einem einen Denkanstoss (Weg) zeigen? Wäre super nett. vielen Dank, Gizmo |
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| 28.11.2010, 21:29 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich mach Dir einen Vorschlag: Setz die Lösungen für x, y und z in die Gleichungen ein. Damit überprüft Du, ob die Lösung richtig ist. Du kannst auch, wenn Dir das leichter fällt, einen Zahlenwert für b annehmen und dann eine reine Zahlenprobe machen. Wenn die aufgeht, ist die Wahrscheinlichkeit hoch, dass die Lösung stimmt - und Du solltest sie irgendwie auch erreichen können. Das Lösen von drei linearen Gleichungen möchte ich hier nicht mit Dir durchhecheln. Da kann Dir vielleicht jemand anders helfen. Oder Du schaust Dein Mathebuch mal scharf an. Da gibt es Beispiele. |
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| 29.11.2010, 00:30 | Gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, verstehe dich ja total. aber ich habe folgendes Problem dennoch noch. x=(4+3b)/(3+4b) dann heißt die erste Gleichung: (8+6b)/(3+4b) +3y+z=0 und die dritte: (12+9b)/(3+4b) +y-z=b zusammen: (20+15b)/(3+4b) -b= -4y y= (-5-15/4b)/(3+4b)+4/b und da verstehe ich nicht, warum du z.B. auf b² kommst und auch auf die Zahlen. Muss grundlegend irgendwo einen Bock drin haben, den ich leider Gottes nicht finde 
Gruß, Gizmo |
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| 29.11.2010, 01:20 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Umformung y=... ist falsch.
Meine Terme für x, y und z sind als ein Bruch notiert. Wenn Du damit vergleichen willst, musst Du auch den Nenner (4*b+3) benutzen und nicht noch Summanden dazu haben. Hast Du die Zahlenprobe mit einem b-Wert Deiner Wahl gemacht, damit Du Vertrauen zu meiner Lösung fassen kannst? Schema dafür: 1) Zahl für b wählen 2) Zahlenwerte für x, y und z gemäß meiner Lösung ausrechnen 3) Diese in die Gln. einsetzen und schauen, ob links und rechts dasselbe steht. |
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| 29.11.2010, 01:36 | Gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Zahlenprobe sagt: "Du hast Recht!" :-) (20+15b)/(3+4b) -b= -4y |
-4)das sind ... y= (20+15b)/(-12-16b)+4/b oder nicht? Die "-4" rutscht in den Nenner, wo ich diesen mit "-4" multipliziere. Durch Kürzen komme ich aber immer noch nicht auf das richtige Ergebnis. Mit dem Summanden das verstehe ich aber ich weiß nicht wie ich den verhindern kann. Sprich: Wie ich das "-b" da irgendwo einarbeiten kann, damit es nicht alleine steht. Gruß und vielen Dank nochmal, Gizmo7227 |
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| 29.11.2010, 10:09 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nee! Die Regel heißt: Auf beiden Seiten einer Gl. dasselbe tun! Also: (20+15b)/(3+4b) -b= -4y | *(-1) -(20+15b)/(3+4b) +b= 4y | /4 -(20+15b)/(3+4b)/4 +b/4= y Das ist jetzt eine etwas andere Form als meine, aber sie ist richtig. | Wenn Du einen Bruch anstrebst, wie ich, musst Du b/4 mit auf den Nenner (3+4b) bringen. Dabei entsteht dann ein b^2-Ausdruck. Nötig ist das nicht, nur eine Frage der Schönheit. |
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| 29.11.2010, 11:45 | gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Okay danke. Sobald ich daheim bin rechne ich nach. LG. Gizmo |
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| 07.03.2011, 11:31 | gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hi, sorry das ich den alten Thread nochmal ausgrabe. Aber ich bins nochmal 
Ich weiß ist schon länger her aber ich habe doch noch ne Frage und wollte deswegen nicht von vorne beginnen. die Lösungen habe ich selber herausbekommen, nach der Hilfe hier. Müsst ihr euch also nicht alles nochmal durchlesen. Es geht nur um folgendes: Die korrekte Lösung lautet das diese x,y und z nur gelten wenn "b" ungleich -3/4. Wenn b = -3/4 , so gibt es keine Lösung. Ich weiß, dass das natürlich mit dem b in Gleichung 2 zun tun hat aber wie geht man hierbei vor. Habe keinen blassen Schimmer. Und Danke im Voraus für die Mühe! Es Grüßt, der Gizmo |
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| 07.03.2011, 12:17 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die richtigen Lösungen für x, y und z kennst du schon (s.o.). Alle drei haben den Term 3+4b im Nenner. Das einzige "Problem" dabei ist, dass für b=-3/4 der Nenner gleich null ist. Das ist der Sonderfall. Jetzt untersuchst du diesen Sonderfall b=-3/4 auch in den Zählern und schaust, was damit für x, y und z herauskommt. |
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| 07.03.2011, 19:40 | gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann ist die Lösungsmenge null. Aha daher kommt das -3/4. Hätte ich ja auch mal draufkommen können:-) Danke für die Hilfe, gizi |
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| 07.03.2011, 20:07 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, du sollst für den Sonderfall eigens die Ergebnisse für x, y und z angeben. Du weißt, dass im Nenner null steht. Der Zähler kann vielleicht negativ, null oder positiv sein. Jedesmal kommt bei Division durch null was anderes 'raus. Also rechne die Zähler aus und dividiere dann. |
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| 07.03.2011, 20:16 | gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Habe ich getan. x= (7/4)/0 y= (-35/16)/0 z= (49/16)/0 Wenn ich mich nicht irgendwo vertan habe Lampe16..... Danke nochmal, gizi |
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| 07.03.2011, 20:37 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich mach es jetzt mit deinen Zahlen (nicht geprüft) fertig: x= (7/4)/0= y= (-35/16)/0= z= (49/16)/0= |
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| 07.03.2011, 20:45 | gizmo7227 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Verständnishalber. Warum gegen unendlich wenn doch durch null teilen = 0 bzw. verboten ist. |
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| 07.03.2011, 21:50 | Lampe16 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du hast schon recht. Es ist zweckmäßig, die Division durch null zu verbieten. Unter http://en.wikipedia.org/wiki/Division_by_zero kannst Du einiges darüber lesen. Ich habs a la Bhaskara II gemacht, aber das sollte ich nicht nochmal tun. "Bhaskara II tried to solve the problem by defining (in modern notation) This definition makes some sense, as discussed below, but can lead to paradoxes if not treated carefully. These paradoxes were not treated until modern times." Ich muss in 4 Stunden aufstehen. Deshalb erst mal gute Nacht! |
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