Normalteiler der Quaternionengruppe

27.11.2010, 15:05	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler der Quaternionengruppe Meine Frage: Hi, habe folgende Frage: Gibt es eine einfach Möglichkeit zu zeigen, dass alle Untergruppen der Quaternionengruppe $\begin{eqnarray} Q=\{\pm E \pm i \pm j \pm k\} \end{eqnarray}$ Normalteiler sind, also eine Argumentation ohne für jede einzelne UG zu überprüfen ob $\begin{eqnarray} gHg^{-1}\in H \forall g\in Q, \forall H\leq Q \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Untergruppen bekomme ich ganz einfach, indem ich rechnerisch zeige, dass $\begin{eqnarray} ijk=-E \Rightarrow \end{eqnarray}$ es gibt keine $\begin{eqnarray} UG \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} i,j,k \end{eqnarray}$ allesamt enthält. Daher gibt es neben den beiden trivialen Untergruppen nur genau die Untergruppen, die von $\begin{eqnarray} i,j,k,-E \end{eqnarray}$ erzeugt werden. Kann ich hierauf irgendwie aufbauen?
27.11.2010, 15:13	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, hab grad schon die Lösung gefunden, um zu zeigen, dass alle $\begin{eqnarray} UG \end{eqnarray}$ der Ordnung $\begin{eqnarray} 4 \end{eqnarray}$ Untergruppen sind, da ja jede $\begin{eqnarray} UG \end{eqnarray}$ von Index $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} NT \end{eqnarray}$ ist. Und für die einzige UG der Ordnung $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ist es natürlich auch einfach.
27.11.2010, 21:38	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die folgenden zwei Themen sollten dir weiterhelfen: Zeige, dass alle Untergruppen der Quaternionengruppe normal sind Bestimmen aller Untergruppen und Normalteiler
28.11.2010, 18:51	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo danke dir!

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