uneigentliches Integral

Neue Frage »

hug0r Auf diesen Beitrag antworten »
uneigentliches Integral
L-integrierbar.
Zeige:


Hierzu hab ich überhaupt keinen Ansatz. Mit dem Ausschöpfungssatz wirds wohl nicht gehen, da sich auch die untere Integralgrenze immer weiter nach rechts verschiebt.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Man kann sich auf beschränken (wieso?). Dann ist eigentlich nurnoch zu beachten, dass




Wink
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, er hat bei uns das Lebesgue Integral so eingeführt, dass er f(x) in einen positiven (f+) und einen negativen (f-) Teil gesplittet hat, wobei f-(x)=max(0,-f(x)) war.

Wenn dann beide Anteile einen endlichen Wert lieferten, so war f(x) L-integrierbar.

Hier ist f(x) L - integrierbar vorausgesetzt, d.h. f+ und f- liefern endliche Werte. Ich vermute daher, dass man sich daher auf f+ beschränken kann, weil mans für f- analog zeigen kann.



Zu deinem Hinweis:




Kann ich hier jetzt so simpel folgern, dass dann:




Das erscheint mir formal etwas dürftig Augenzwinkern . Zumal ich einen Ausdruck wie nicht so sorglos hinschreiben und verwenden sollte.
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das erscheint mir formal etwas dürftig Augenzwinkern . Zumal ich einen Ausdruck wie nicht so sorglos hinschreiben und verwenden sollte.


Ja, das ist wirklich ein wenig dürftig... Big Laugh

Genau



wäre jetzt noch zu zeigen!
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Hm.. habs mit Cauchy probiert:


Daraus dann:



Nun krieg ich N aber nicht definiert, dass ich dann das letzte Integral abschätzen kann unglücklich .
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

So viele Dinge weiss man ja nun auch wieder nicht über f: Genauer gesagt, weiss man nur etwas über f!

Also musst du das sicher verwenden.

Zeige also, dass es zu jedem ein gibt, sodass



ist. Du könntest z.B. einen Widerspruchsbeweis führen.

Daraus kannst du dann die Aussage folgern.
 
 
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Zwischenfrage:

heißt f: R->R ist L-Integrierbar, dass f auf GANZ R L-integrierbar ist? Also dass auch Integrale der Form:

existieren?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Im Prinzip gibt es in Massräumen Integrale wie gar nicht.

Das ist dann eher eine Kurzschreibweise für

wobei die charakteristische Funktion von ist.
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

ok.

ist also, weil f integrierbar ist, ein bestimmter Wert b.

Ok ich probiers nun mit Widerspruch, wie du mir vorgeschlagen hast.

Also:



Nun kann ich aber schlecht sagen: Wähle a so, dass:

ist.

Ich weiß ja nicht mal, ob so ein a existiert.

Wenn ja, wäre dann
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich's mir so überlege ist Widerspruch vielleicht gar nicht die beste Idee.

Kennst du ein Lemma, welches besagt, dass für monoton steigende mit folgt

?

Wenn ja, verwende lieber das mit geeigneten um daraus die Aussage



bzw.



zu folgern.
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Jo, den Satz von Levi.

Wäre eine geeignete Wahl?

gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wäre eine geeignete Wahl?


In der Tat. Jetzt musst du bloss noch alles gesagte zusammenwursteln und erhälst die Aussage.
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, danke dir für deine Hilfe heute.. das war echt großzügig von dir.. da mach ich dann morgen weiter und hoffe ich kriegs hin smile
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie krieg ichs trotzdem nicht hin:

Zu zeigen ist:





Wenn ich jetzt die Limiten vertauschen dürfte, wärs kein Problem, denn dann wäre ja das Integral für jedes ja 0, weil das m immer irgendwann außerhalb des Intervalls [-n,n] sein wird und somit der Gesamtausdruck für n -> inf auch 0. Aber die Limiten werd ich wohl nicht vertauschen dürfen, weil das doch einen erheblichen Unterschied macht.
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ich hab ne andere Idee ohne Satz von Levi.


Nach Voraussetzung ist f auf ganz R L-integrierbar.






Ist das korrekt?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso machst du's dir denn so schwer?

Aus



folgt



für alle hinreichend grossen n.

andererseits ist

Deshalb auch



für hinreichend grosse n. Daraus folgt wiederum



für solche n. Insgesamt folgt man daraus die Behauptung.

Das stand übrigens schon alles so in diesem Thread.
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, verwirrt hat mich vor allen Dingen, wieso ich eine monoton wachsende Folge von f_n 's konstruieren sollte. Du hast in deinem Beweis jetzt am Ende auch nirgends den Satz von Levi gebraucht..
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du hast in deinem Beweis jetzt am Ende auch nirgends den Satz von Levi gebraucht..


Doch, für diesen Schritt:




Du musst hier aufpassen! Für Riemann-Integrale ist das schon nach Definition von unbestimmten Integralen erfüllt.

Für Lebesgue-Integrale ist das jedoch nicht offensichtlich, da man das Integral anders definiert nämlich als Supremum der Integrale über alle einfachen Funktionen, welche kleinergleich f sind (oder etwas äquivalentes)

Verstehst du, worin der Unterschied besteht?
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich verstehe den Konstruktionsunterschied der Integrale, deinen (verkürzten) Schritt hier versuch ich grad noch mal Schritt für Schritt nachzuvollziehen.

Ok zuerst definiere ich:


Damit ist klar, dass für die gegen f konvergieren.

Nach dem Satz von Levi heißt dass dann:




Das ist aber schon alles, was ich habe. Hier soll ja M = sein.
hug0r Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, ich bräuchte eher diesen Satz:

http://www.abload.de/image.php?img=ausschpfungxg9n.png
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Mit diesem Satzt funktionierts natürlich auch.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »