p-Sylow-Untergruppen

27.11.2010, 16:08	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
p-Sylow-Untergruppen Meine Frage: Ich habe in einem Buch gelesen, dass die Quaternionengruppe $\begin{eqnarray} Q \end{eqnarray}$ nur genau eine $\begin{eqnarray} 2-SUG \end{eqnarray}$ enthält, und zwar sich selber. Wie genau kann ich das einsehen? Meine Ideen: Ich weis, dass $\begin{eqnarray} \|Q\|=8=2^{3} \end{eqnarray}$ . Argumentiere ich hier jetzt mit dem 3. Satz von Sylow und sage, dass $\begin{eqnarray} S_{2}\|1 \end{eqnarray}$ gelten muss, wegen $\begin{eqnarray} \|Q\|=12^{3} \end{eqnarray}$ und daher nur $\begin{eqnarray} S_{2}=1 \end{eqnarray}$ gelten kann? Würden dann dementsprechend auch beispielsweise alle Gruppen der Ordnung $\begin{eqnarray} 16,32,64,... \end{eqnarray}$ jeweils nur eine $\begin{eqnarray} 2-SUG \end{eqnarray*}$ und zwar sich selber enthalten?
27.11.2010, 17:03	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch ziemlich trivial, eine 2-Sylowgruppe muss doch Ordnung 8 haben und mehr Elemente gibt es ja gar nicht. Das gilt natürlich für alle Gruppen deren Ordnung eine p-Potenz ist.
28.11.2010, 18:51	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo stimmt wohl.. danke

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