Satz von Rolle

27.11.2010, 16:43

metriod

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Satz von Rolle

Hallo matheboard!

Mit folgender Aufgabenstellung komme ich leider garnicht klar:
Sei f(x) eine auf [-1,0] stetige Funktion, welche auf (-1,0) differenzierbar ist und welche f(0)=f(-1)=0 erfüllt. Sei weiters $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine beliebige reele Zahl ungleich 0. Weisen Sie nach, dass es ein z in (-1,0) gibt, sodass f(z)+ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ f´(z)=0
Anleitung: Überzeugen Sie sich, dass die Funktion von $\begin{eqnarray*} g(x) = e^\frac{x}{\alpha} *f(x) \end{eqnarray*}$ auf [0,1] alle Voraussetzungen des Satz von Rolle erfüllt und wenden Sie den Satz von Rolle auf g(x) an.

1. Schritt: Prüfen ob g(x) differenzierbar ist.
Wie mache ich das?

Danke im Voraus!

27.11.2010, 17:43

org

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RE: Satz von Rolle
1. Schritt: Prüfen ob g(x) differenzierbar ist.
Wie mache ich das?

$\begin{eqnarray*} g(x) = e^\frac{x}{\alpha} *f(x) \end{eqnarray*}$ : Das ist das Produkt differenzierbarer Funktionen und das ist bekanntlich differenzierbar (Denn $\begin{eqnarray*} (f*g)'=f'*g+f*g' \end{eqnarray*}$ )

27.11.2010, 20:03

metriod

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RE: Satz von Rolle

Zitat:

Original von org
1. Schritt: Prüfen ob g(x) differenzierbar ist.
Wie mache ich das?

$\begin{eqnarray*} g(x) = e^\frac{x}{\alpha} *f(x) \end{eqnarray*}$ : Das ist das Produkt differenzierbarer Funktionen und das ist bekanntlich differenzierbar (Denn $\begin{eqnarray*} (f*g)'=f'*g+f*g' \end{eqnarray*}$ )

Danke, ich kann damit aber leider nichts anfangen.
1. Wenn ich nicht weiß, ob die zwei Funktionen differenzierbar sind, kann ich ja auch nicht darauf schließen, dass das Produkt differenzierbar ist.
Daher die Frage: Wie finde ich heraus, ob Differenzierbarkeit gegeben ist oder nicht?

27.11.2010, 20:23

metriod

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Wie kann ich denn explizit nach "Satz von Rolle" suchen?

Wenn ich das mit "" in die Suche eingebe, erhalte ich auch Ergebnisse für "von", was natürlich nicht gewollt ist...

Danke..!

28.11.2010, 00:39

Iorek

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RE: Satz von Rolle

Zitat:

Original von metriod
Sei f(x) eine auf [-1,0] stetige Funktion, welche auf (-1,0) differenzierbar ist

Da ist die Differenzierbarkeit gegeben.

28.11.2010, 23:51

metriod

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Stimmt natürlich, aber wie überprüfe ich dir Differenzierbarkeit von g(x)?

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28.11.2010, 23:53

Iorek

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RE: Satz von Rolle

Zitat:

Original von org
Das ist das Produkt differenzierbarer Funktionen und das ist bekanntlich differenzierbar

Du solltest die Tipps auch lesen...

29.11.2010, 12:52

metriod

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Meinst du den Tipp von org?
Diesbezüglich habe ich ja die Frage gestellt, wie ich herausfinde, ob eine Funktion differenzierbar ist oder nicht?

29.11.2010, 13:33

Iorek

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Das geht entweder ganz klassisch über die Definition von Differenzierbarkeit oder aber man nutzt bekannte Sätze über die Differenzierbarkeit von Funktionen.

Die Funktion g ist sofort differenzierbar, weil sie das Produkt differenzierbarer Funktionen ist.

29.11.2010, 13:49

metriod

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$\begin{eqnarray*} g(x) = e^\frac{x}{\alpha} *f(x) \end{eqnarray*}$

Dass f(x) differenzierbar ist geht aus der Angabe hervor.
Wie stelle ich fest, ob $\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{\alpha} \end{eqnarray*}$ ebenfalls differenzierbar ist? Per Definition / Satz?

Danke für die Hilfe

29.11.2010, 13:50

Iorek

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Die Differenzierbarkeit der e-Funktion sollte eigentlich bekannt sein, ansonsten musst du die halt nachweisen.

30.11.2010, 23:18

metriod

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Wenn es nun eine kompliziertere Funktion wäre und keine e-Funktion, dann könnte ich die Differenzierbarkeit mittels der H-Methode feststellen, richtig?

Also g(x) erfüllt Differenzierbarkeit.

"Anleitung: Überzeugen Sie sich, dass die Funktion von $\begin{eqnarray*} g(x) = e^\frac{x}{\alpha} *f(x) \end{eqnarray*}$ auf [0,1] alle Voraussetzungen des Satz von Rolle erfüllt und wenden Sie den Satz von Rolle auf g(x) an."
Also, das g(x) differenzierbar ist, wissen wir nun.
Gemäß Satz von Rolle muss ja auch Stetigkeit gegeben sein, wie prüfe ich diese?

Danke im Voraus!

30.11.2010, 23:20

Iorek

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Darf ich fragen in welchem Zusammenhang du diese Aufgabe bearbeitest? Alle Sachen die du bisher hattest stehen als Voraussetzungen in der Aufgabenstellung drin, sowohl die Differenzierbarkeit als auch die Stetigkeit.

01.12.2010, 00:05

metriod

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Um die Mathe 1 Übung auf der Uni zu verstehen, Iorek.

Das f(x) stetig ist geht aus der Angabe hervor, wie stelle ich jedoch die Stetigkeit für $\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{\alpha} \end{eqnarray*}$ oder eine andere Funktion fest?

Indem links- sowie rechtsseitiger Limes am kritischen Punkt berechnet wird, wenn diese übereinstimmen liegt Stetigkeit vor?

01.12.2010, 00:06

Iorek

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Ihr habt doch bestimmt die Stetigkeit der Exponentialfunktion gehabt, oder? Damit und mit der Tatsache, dass die Verknüpfung stetiger Funktionen wieder stetig ist, ist auch g(x) direkt stetig.

Ich verschieb das mal in die Hochschulanalysis.

01.12.2010, 00:17

metriod

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Danke Iorek, ich hätte mich bei der Differenzierbarkeit und Stetigkeit klarer ausdrücken sollen.

Mir ging es grundsätzliche um das Verfahren / die Methode um Differenzierbarkeit / Stetigkeit herauszufinden.

g(x) ist also differenzierbar sowie stetig, da dies auf die verknüpften Funktionen zutritt.
Gibt es noch etwas anderes, worauf g(x) überprüft werden muss um dem Satz von Rolle zu entsprechen?
Bzw. wie wende ich den Satz von Rolle nun an, wenn g(x) sämtliche Bedingungen erfüllt.

"Anleitung: Überzeugen Sie sich, dass die Funktion von $\begin{eqnarray*} g(x) = e^\frac{x}{\alpha} *f(x) \end{eqnarray*}$ auf [0,1] alle Voraussetzungen des Satz von Rolle erfüllt und wenden Sie den Satz von Rolle auf g(x) an."

01.12.2010, 00:21

Iorek

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Die Verfahren um auf Differenzierbarkeit/Stetigkeit zu prüfen sind recht unterschiedlich. In diesem Fall handelt es sich um die Verknüpfung stetiger bzw. differenzierbarer Funktion, bei anderen Funktionen die z.B. abschnittsweise definiert sind untersucht man meistens die kritischen Stellen unter Verwendung des links-/rechtsseitigen Limes.

Für den Satz von Rolle muss neben Differenzierbarkeit und Stetigkeit noch eine weitere Bedingung erfüllt sein, diese zielt auf die Funktionswerte der Intervallgrenzen ab.

01.12.2010, 11:41

metriod

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Zitat:

Original von Iorek
Für den Satz von Rolle muss neben Differenzierbarkeit und Stetigkeit noch eine weitere Bedingung erfüllt sein, diese zielt auf die Funktionswerte der Intervallgrenzen ab.

Dass an mindestens einer Stelle die Funktion f'(x0) = 0 ist?
Also die Steigung gleich 0?

01.12.2010, 11:45

Iorek

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Nein, das ist die Aussage des Satzes (dass unter den Voraussetzungen mindestens ein $\begin{eqnarray*} x_0\in (a,b) \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ ), es muss aber noch etwas für die Funktionswerte der Intervallgrenzen erfüllt sein (du hast da die Ableitung stehen).

Wenn du dir nicht sicher bist welche Voraussetzung noch erfüllt sein muss, dann schlag doch einfach den Satz nach, dort stehen ja alle Voraussetzungen drin.

01.12.2010, 11:47

metriod

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Sorry, die dritte Bedingung lautet f(a)=f(b) ...

01.12.2010, 11:54

Iorek

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Genau, das ist jetzt einfach nur Einsetzen der Intervallgrenzen in g(x).

01.12.2010, 11:58

metriod

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$\begin{eqnarray*} g(0) = e^\frac{0}{\alpha} *f(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(1) = e^\frac{1}{\alpha} *f(1) \end{eqnarray*}$

Wäre das der korrekte Ansatz?

01.12.2010, 12:00

Iorek

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Ja, das kannst du jetzt weiter ausrechnen.

01.12.2010, 12:09

metriod

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$\begin{eqnarray*} g(0) =\sqrt[{\alpha}]{1} * f(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(1) =\sqrt[{\alpha}]{e} * f(1) \end{eqnarray*}$

Für Alpha nun eine beliebige Zahl? und was mache ich mit dem f()?

01.12.2010, 12:10

Iorek

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RE: Satz von Rolle

Zitat:

Original von metriod
Mit folgender Aufgabenstellung komme ich leider garnicht klar:
Sei f(x) eine auf [-1,0] stetige Funktion, welche auf (-1,0) differenzierbar ist und welche f(0)=f(-1)=0 erfüllt.

Dafür lohnt es sich, die Aufgabenstellung zu Rate zu ziehen.

01.12.2010, 12:15

metriod

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Wenn f(0)=0 ist, dann ist g(0) auch 0.

Was tu ich aber bei g(1)? Denn für f(1) ist in der Angabe ja nichts beschrieben.

01.12.2010, 12:18

Iorek

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Hmm...da hast du durchaus Recht, das ist mir bisher gar nicht aufgefallen.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert, bist du sicher, dass die Aufgabe so richtig ist und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ nicht auch auf $\begin{eqnarray*} [-1,0] \end{eqnarray*}$ definiert ist? verwirrt

verwirrt

01.12.2010, 12:24

metriod

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Die Angabe wie im ersten Post ist richtig abgeschrieben.
Kann aber natürlich sein, dass der Übungsleiter einen Fehler gemacht hat, wenn die Aufgabe für [0,1] keinen Sinn macht?

01.12.2010, 12:30

Iorek

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Die Definition der Funktion g(x) macht keinen Sinn bzw. ist falsch, die "Anleitung" ist also in der Form wie sie da steht nicht zu gebrauchen.

01.12.2010, 12:33

metriod

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Verstehe, betrachten wir den Fall, wenn für g(x) [-1,0] gelten würd?

g(0) wäre weiterhin 0
g(-1) = ebenfalls 0?

01.12.2010, 12:35

Iorek

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Ja, wenn wir das so umändern kann man damit weitermachen.

Damit wären alle Vorraussetzungen erfüllt.

01.12.2010, 12:53

metriod

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Aufgabenstellung war:
Sei f(x) eine auf [-1,0] stetige Funktion, welche auf (-1,0) differenzierbar ist und welche f(0)=f(-1)=0 erfüllt. Sei weiters $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine beliebige reele Zahl ungleich 0. Weisen Sie nach, dass es ein z in (-1,0) gibt, sodass f(z)+ $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ f´(z)=0
Anleitung: Überzeugen Sie sich, dass die Funktion von $\begin{eqnarray*} g(x) = e^\frac{x}{\alpha} *f(x) \end{eqnarray*}$ auf [0,1] alle Voraussetzungen des Satz von Rolle erfüllt und wenden Sie den Satz von Rolle auf g(x) an.

Wir haben jetzt also für g(x) bewiesen, dass Differenzierbarkeit und Stetigkeit gegeben ist sowie f(a)=f(b) (das haben wir mit dem g(0)=0 ; g(-1)=0 bewiesen oder?).

Nun den Satz von Rolle auf g(x) anwenden: g'(x)=0
$\begin{eqnarray*} g'(x)={{e^{{{x}\over{\alpha} }}\,\log e}\over{\alpha} } * f'(x) \end{eqnarray*}$

01.12.2010, 12:55

Iorek

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Bist du dir sicher, dass die Ableitung richtig ist? unglücklich

unglücklich

Du musst die Produktregel verwenden.

01.12.2010, 12:58

metriod

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Ich habs um ehrlich zu sein http://www.mathetools.de/differenzieren/ berechnen lassen...

01.12.2010, 12:59

Iorek

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Dann solltest du dich nicht auf irgendeinen Ableitungsrechner verlassen (der mit allgemein definierten Funktionen eh seine Probleme hat) sondern selber ableiten. Dabei musst du dann zwangsläufig die Produktregel anwenden.

Edit: Wobei dir der Ableitungsrechner durchaus die richtige Ableitung angibt, sofern du die Funktion richtig eingegeben hast.

01.12.2010, 13:18

metriod

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Mit der Produktregel versucht:
$\begin{eqnarray*} g(x) = e^\frac{x}{\alpha} *f(x) \end{eqnarray*}$

g'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)

$\begin{eqnarray*} g'(x)= e^\frac{x}{{\alpha}} * f(x) + e^\frac{x}{\alpha} * f'(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{{\alpha}} \end{eqnarray*}$ könnte ich jetzt herausheben?

01.12.2010, 13:20

Iorek

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Wie lautet denn die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^{\frac xa} \end{eqnarray*}$ ?

Danach kannst du das rausheben, ja.

01.12.2010, 13:22

metriod

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Ist die Ableitung von der Exponentialfunktion nicht gleich die Exponentialfunkiton?

01.12.2010, 13:25

Iorek

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Es gilt $\begin{eqnarray*} \left[e^x\right]'=e^x \end{eqnarray*}$ , ja, allerdings hast du hier ja nicht die normale Exponentialfunktion gegeben, im Exponenten ist ja noch ein weiterer Faktor vorhanden, Stichwort: Kettenregel.

01.12.2010, 13:48

metriod

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$\begin{eqnarray*} \frac{x}{{\alpha}} \end{eqnarray*}$ = z(x)

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{{\alpha}} \end{eqnarray*}$ = z'(x)

$\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{{\alpha}} \end{eqnarray*}$ abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} e^z * z'(x) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^\frac{x}{{\alpha}} * \frac{1}{{\alpha}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g'(x)= e^\frac{x}{{\alpha}} * \frac{1}{{\alpha}} * f(x) + e^\frac{x}{\alpha} * f'(x) \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

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