Folge mit komplexen Zahlen

27.11.2010, 18:23

Stephan1989

Folge mit komplexen Zahlen

Meine Frage:
Hallo, habe folgende Aufgabe:

Seien $\begin{eqnarray*} a_{0},a_{1},...a_{k} \end{eqnarray*}$ reelle Zahlen. Zeigen Sie, dass für jede komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2} + ... + a_{k}z^{k} = 0 \Rightarrow a_{0} + a_{1}\vec{z} + a_{2}\vec{z}^{2} + ... + a_{k}\vec{z}^{k}= 0 \end{eqnarray*}$

Anmerkung: $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ steht für komplex konvergiert. Habe den normalen Strich dadrüber nicht hinbekommen.

Meine Ideen:
Ich weiss nicht so recht, wie man so etwas beweisen kann.
Das ist ja eine Folge, bei der die Summierung aller Sumanden 0 ergibt.
also muss ja jeder Summand auch 0 sein.
Ich habe mal ein bisschen im Internet rumgesucht und da den Fundamentalsatz der Algebra gefunden, der ja auch so aussieht, aber so richtig kann ich damit auch nix anfangen.

a0 muss ja auf jedenfall schonmal 0 sein, und bei den anderen Summanden entweder die a oder die z Teile der Summanden. Dann müsste man also zeigen,dass wenn $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} z^{k} \end{eqnarray*}$ gleich Null ist auch $\begin{eqnarray*} \vec{z} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \vec{z}^{k} \end{eqnarray*}$ gleich Null ist.

Wäre dankbar für Hinweise

Mfg Stephan

27.11.2010, 19:11

klarsoweit

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RE: Folge mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Stephan1989
Das ist ja eine Folge, bei der die Summierung aller Sumanden 0 ergibt.
also muss ja jeder Summand auch 0 sein.

Hää?

Wenn ich 1 + (-1) = 0 rechne, dann kommt Null raus, also muß auch jeder Summand Null sein? verwirrt

Wenn $\begin{eqnarray*} a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_k z^k = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt auch:

$\begin{eqnarray*} \overline{a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_k z^k} = \overline 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt mußt du auf die linke Seite nur die Regeln für konjugiert komplexe Zahlen anwenden.

27.11.2010, 20:39

Stephan1989

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RE: Folge mit komplexen Zahlen
Hey, danke für die Antwort

hm jo mit den Summanden habe ich irgendwie schlecht nachgedacht.

Also ich muss ja jetzt versuchen, die linke Seite mit den Rechenoperationen umzuformen. Aber die ganzen Rechenoperationen die ich habe beziehen sich immer auf 2 komplexe Zahlen.

Hier mal die Definitionen, Rechenregeln, die wir in den Vorlesungsfolien hatten:

$\begin{eqnarray*} \overline z := x -iy \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | \overline z | =| z | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{z_{1}+z_{2}} = \overline z_{1} + \overline z_{2} , \overline {z_{1}*z_{2} }= \overline z_{1} * \overline z_{2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z_{1} , z_{2} \in \mathbb C \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline z = z \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |z|^{2} = z * \overline z \end{eqnarray*}$

aber die beziehen sich doch alle auf 2 komplexe Zahlen und das $\begin{eqnarray*} a_{o} - a_{k} \end{eqnarray*}$ sind ja Reelle Zahlen. Kann ich die Reellen Zahlen auch darstellen als $\begin{eqnarray*} a_{0} + 0*i \end{eqnarray*}$ , so das ich die Rechenregeln anwenden kann? bei der 4 ten Rechenregel soll ja $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein. Würde das dann heissen, dass der Imaginärteil 0 ist also auch z=x + i*0 ?

Mfg Stephan

28.11.2010, 12:15

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RE: Folge mit komplexen Zahlen
Richtig. Auch reelle Zahlen sind komplexe Zahlen. Augenzwinkern

28.11.2010, 16:30

Stephan1989

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RE: Folge mit komplexen Zahlen
Hey,

okay dann kann ich ja in der ersten Gleichung alles konjugieren. Habe dann also:

$\begin{eqnarray*} \overline{a_{0} +a_{1}z+a_{2}z^{2} + . . . + a_{k}z^{k}} = \overline 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt wende ich $\begin{eqnarray*} \overline z = z \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ um die konjegierung über den a aufzulösen. Dann habe ich also:

$\begin{eqnarray*} a_{0} + a_{1} \overline z + a_{2} \overline {z^{2}} + . . . +a_{k} \overline {z^{k}} = \overline 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt ziehe ich noch die konjugierungen unter die exponenten weil:
$\begin{eqnarray*} \overline {z^{x}} = \overline { z *z } = \overline z * \overline z = \overline z^{x} \end{eqnarray*}$

Habe dann also die selbe Gleichung wie auf der Rechten Seite.

War mir aber nicht ganz sicher ob man einfach die gesamte Gleichung konjugieren darf. (Hab dazu keine Rechenregel gesehen) In deinem ersten Post hattest du das ja gemacht. Oder hattest du da nur die linke Gleichung aufgeschrieben und bei der Rechten die Reellen Zahlen umgedreht und die konjugierungen mit den 2ten Regeln die ich aufgelistet habe über alles gezogen?

MFG Stephan

28.11.2010, 17:09

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RE: Folge mit komplexen Zahlen

Zitat:

Original von Stephan1989
War mir aber nicht ganz sicher ob man einfach die gesamte Gleichung konjugieren darf. (Hab dazu keine Rechenregel gesehen)

Es ist $\begin{eqnarray*} x = y \Leftrightarrow \overline x = \overline y \end{eqnarray*}$ .

28.11.2010, 23:01

Stephan1989

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RE: Folge mit komplexen Zahlen
Okay dann müsste das jetzt ja passen.
Vielen Dank für deine Hilfe

MFG Stephan

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