Vektorraum der Polynomfunktionen, kanonische Basis

27.11.2010, 18:47	Claudia1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum der Polynomfunktionen, kanonische Basis Hi, ich brauch Hilfe bei folgender Aufgabe: Es sei V der Vektorraum der Polynomfunktionen über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} , B = \left\{ x^{i} \| i\in \mathbb N \right\} \end{eqnarray}$ die kanonische Basis von V sowie $\begin{eqnarray} p_{1} (x)= x^{2} - 3x^{3} , p_{2} (x)= x^{2} - 4x^{3} + x^{5} , p_{3} (x)= x^{2} - 5x^{3} + x^{7} \end{eqnarray}$ Finden Sie eine Teilmenge $\begin{eqnarray} B'\subset B \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \left\{ p_{1} (x), p_{2} (x), p_{3} (x)\right\} \cup \left\{ B ohne B'\right\} \end{eqnarray}$ (hab das Symbol für "ohne" nicht gefunden) wieder eine Basis von V ist. Was ist denn eine kanonische Basis und wie könnte die in diesem Fall aussehen? Kann mir sonst jemand, der die gleiche Aufgabe lösen soll, einen Tip geben, wie ich an die heran gehen soll? Vielen Dank!
27.11.2010, 21:06	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die kanonische (=natürliche,ungekünstelte) Basis ist ja angegeben. Sie besteht aus den Monomen $\begin{eqnarray} x^0, x^1, x^2, x^3, \ldots \end{eqnarray}$ Zur Lösung der Aufgabe beachte, daß du irgendwie alle Grade erreichen mußt.
28.11.2010, 01:29	Claudia1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Die $\begin{eqnarray} p_{i} (x) \end{eqnarray}$ sind also die "Vektoren" des Vektorraums, richtig? Und ich soll jetzt p1, p2, p3 durch Vektoren aus B zu einer neuen Basis von V ergänzen, richtig?
28.11.2010, 15:54	Claudia1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab jetzt eine Lösung, weiß aber absolut nicht, ob das so stimmt: Die kanonische Basis des Vektorraums ist $\begin{eqnarray} B = \left\{ 1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}, x^{5}, x^{6},...\right\} \end{eqnarray}$ , also sind diese Vektoren linear unabhängig. Ich habe dann zunächst $\begin{eqnarray} p_{1} (x), p_{2} (x), p_{3} (x) \end{eqnarray}$ auf lineare Unabhängigkeit überprüft, was ja eine Voraussetzung ist, damit man diese überhaupt zu einer Basis von V ergänzen kann. Also: $\begin{eqnarray} \lambda_{1} \left(x^{2} - 3x^{3}\right) +\lambda_{2} \left(x^{2} - 4x^{3} + x^{5}\right) +\lambda_{3} \left(x^{2} - 5x^{3} + x^{7}\right) = 0 \end{eqnarray}$ Zusammengefasst: $\begin{eqnarray} \left( \lambda_{1} + \lambda_{2} + \lambda_{3}\right) x^{2} + \left( -3\lambda_{1}- 4 \lambda_{2}- 5 \lambda_{3}\right) x^{3} + \lambda_{2} x^{5} + \lambda_{3}x^{7} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lambda_{2} = 0, \lambda_{3} = 0 \Rightarrow \lambda_{1} = 0 \end{eqnarray}$ (weil $\begin{eqnarray} x^{2}, x^{3}, x^{5}, x^{7} \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind) Also sind $\begin{eqnarray} p_{1}, p_{2}, p_{3} \end{eqnarray}$ linear unabhängig. Da $\begin{eqnarray} x^{2}, x^{3}, x^{5}, x^{7} \end{eqnarray}$ bereits von $\begin{eqnarray} p_{1}, p_{2}, p_{3} \end{eqnarray}$ erzeugt wird, haben wir $\begin{eqnarray} B'=\left\{ x^{2}, x^{3}, x^{5}, x^{7} \right\} \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} \left\{ p_{1}, p_{2}, p_{3}\right\} \cup \left(B ohne B'\right) \end{eqnarray}$ eine Basis von V ist. Ist B' so richtig? Stimmt die Argumentation? Vielen Dank für eure Hilfe!

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