Beliebiges Erzeugenden System zu endlichem Erzeugendensystem

17.11.2006, 11:38

DerHolzi

Beliebiges Erzeugenden System zu endlichem Erzeugendensystem

Bosch Aufg. 1.4.3

Hallo zusammen

Ich habe hier auch nochmal eine andere Aufgabe die sich auf erzeugendensysteme Bezieht.

______________________________
Sei K ein Körper und V ein endlich erzeugter K-Vektorraum. Dann lässt sich jedes beliebige Erzeugendensystem A von V zu einem endlichen Erzeugendensystem verkleinern, d.h., es gibt eine endliche Teilmenge B enthalten in A, so dass <B>=V gilt.
______________________________

Habt ihr da zufällig ne Idee zu??

Greets
DerHolzi

17.11.2006, 13:42

Abakus

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RE: Beliebiges Erzeugenden System zu endlichem Erzeugendensystem
Die Idee könnte der Basisergänzungs- und/oder der Basisaustauschsatz sein, ggf. geeignet angewendet.

Du weißt ja, dass es sich um einen endlich erzeugten VR handelt.

Grüße Abakus smile

EDIT: Text

19.11.2006, 15:04

DerHolzi

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Sorry, aber diese Antwort bringt mich nicht wirklich weiter. Kann das nochmal jemand etwas detailreicher machen??

Vielen Dank

DerHolzi

19.11.2006, 17:35

geheimer Zuhörer

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versuch mal davon auszugehen, dass A nicht endlich ist ...
daraus folgt dann eigentlich <B>

20.11.2006, 01:36

Mathespezialschüler

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Ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ endlich, so sollte alles klar sein. Sei also $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ unendlich. Da $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ endlich erzeugt ist, existiert ein endliches EZS $\begin{eqnarray*} C=\{c_1,\ldots,c_n\} \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein EZS sein soll, kann man die Vektoren $\begin{eqnarray*} c_1,\ldots,c_n \end{eqnarray*}$ aus den Vektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in bestimmter Weise darstellen. Wie? Und was folgt daraus?

Gruß MSS

20.11.2006, 13:22

RaketenRichard

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Ich knüpf mal hier an, damit nicht alles doppelt geschrieben werden muss.

Wenn A ein endliches EZS ist, so enthält es die Basis <B> als Teilmenge. Es lässt sich also immer eine Teilmenge B von A finden mit <B> =V.

Wenn A ein unendliches EZS ist, so konstruiert man sich ein endliches EZS C={c1, c2, .. , cn} (das es ja geben muss, weil V endlich erzeugt). Kann man jetzt nicht einfach alle Elemente aus a, die sich nicht als Element von C darstellen lassen, mit dem Skalar 0 multiplieren und hat damit C?

20.11.2006, 15:34

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von RaketenRichard
Wenn A ein unendliches EZS ist, so konstruiert man sich ein endliches EZS C={c1, c2, .. , cn} (das es ja geben muss, weil V endlich erzeugt). Kann man jetzt nicht einfach alle Elemente aus a, die sich nicht als Element von C darstellen lassen, mit dem Skalar 0 multiplieren und hat damit C?

Wer sagt dir, dass alle Elemente aus $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen müssen?? Das stimmt nicht, es kann sogar sein, dass $\begin{eqnarray*} A\cap C=\varnothing \end{eqnarray*}$ ist!!

Gruß MSS

20.11.2006, 16:42

SilverBullet

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Hallo mache auch diese Aufgabe und habe irgendwie noch nicht wirklich viel verstanden von dem was ihr geschrieben habt unglücklich

Erstmal zum Verständnis :

Laut Aufgabe habe ich V, ein "endlich erzeugter K-Vektorraum".

Das heißt doch nichts weiter als das V eine endliche Basis hat und mehr nicht oder ? Also habe ich doch nur abzählbar viele Vektoren welche meine Basis bilden und somit mein V aufspannen ?

"Dann lässt sich jeden beliebige Erzeugendensystem A von V zu einem endlichen Erzeigendensstem verkleinern"

Wieso das ? Ich habe doch nur endlich viele Vektoren... Wieso muss ich denn dann mein Erzeugendensystem verkleinern ?

Hoffe jmd. kann mir erklären was ich falsch verstanden habe unglücklich

20.11.2006, 16:55

Mathespezialschüler

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Endlich erzeugt heißt eigentlich erstmal nur, dass es ein endliches EZS gibt. Das heißt aber noch lange nicht, dass der Vektorraum nur endlich viele Vektoren hat, er kann auch unendlich (sogar überabzählbar) viele Vektoren enthalten. Allgemeines Beispiel ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .
Nun kann ein EZS auch unendlich viele Vektoren enthalten, z.B. ist die Menge $\begin{eqnarray*} A=\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ auch ein EZS des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

20.11.2006, 17:13

SilverBullet

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Also das bedeutet dann (hast du oben ja schon geschrieben will es nur nochmal zu meinem Verständnis aufschreiben) :

Wenn mein Erzeugendensystem A endlich ist, so muss ich es nicht verkleinernt und damit ergibt sich die Aufgabe.

Wenn mein Erzeugendensystem A nun unendlich ist. Hier verstehe ich was nicht.

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein EZS sein soll, kann man die Vektoren $\begin{eqnarray*} c_1,\ldots,c_n \end{eqnarray*}$ aus den Vektoren von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ in bestimmter Weise darstellen. Wie? Und was folgt daraus?

also $\begin{eqnarray*} c_1,\ldots,c_n \end{eqnarray*}$ spannen mein V auf.
Auch die Vektoren von A spannen mein V auf, jedoch sind dies nun unendlich viele.

Jetzt muss ich überlegen wir ich die "überzähligen" da raus bekomme oder ?

20.11.2006, 17:17

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
Jetzt muss ich überlegen wir ich die "überzähligen" da raus bekomme oder ?

Du musst überlegen, wie du so viele rausbekommst, dass nur noch endlich viele übrig bleiben, ja. Es gibt dabei nicht die "Überzähligen", da es nicht eindeutig ist, welche Vektoren man rausnehmen muss.

Gruß MSS

20.11.2006, 17:38

SilverBullet

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Hmm ich will mal etwas aus der Vorlesung in den Raum werfen.
Ich glaube das ist genau das was hier jetzt noch gebraucht wird... Versteh es leider nicht ganz unglücklich

Also :

Satz : Sei V endlich erzeugter K-VR => V besitzt Basis, jede Basis von V ist endlich

Beweis :

Sei $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \in V \end{eqnarray*}$ Erz. System, also $\begin{eqnarray*} V = <a_1,...,a_n > \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig => $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängiges Erzeugendensystem also eine Basis.

(Jetzt kommt glaub ich das benötigte)

Wenn $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ lin abhängig => (nach Lemma 1 <=> 3)Erz. System kann verkürzt werden
OE : $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n^* \end{eqnarray*}$ minimales Erz.System dann nach Lemma 1 <=> 3 :
$\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n^* \end{eqnarray*}$ linear unabhängig also $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n^* \end{eqnarray*}$ ist eine Basis.

Die verwendeten lemmas :

1 : $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig
2 : Eine der ai ist Linearkomb der restlichen, d.h es existiert ein $\begin{eqnarray*} p \in \{1,.....,n\} mit a_p \in <a_1,..,a_{p-1},a_{p+1},....,a_n> \end{eqnarray*}$
3: Es existiert ein $\begin{eqnarray*} p \in \{1,...,n\} mit <a_1,..,a_{p-1},a_{p+1},...,a_n> = <a_1,...,a_n> \end{eqnarray*}$

Ps: hab n* geschrieben, da n` irgendwie in latex nur n^4 gezeigt hat unglücklich

Also das müsste das ja sein. Wernn ja und wenn es jmd gut versteht wäre es super das zu übersetzten. ^^

20.11.2006, 17:47

Mathespezialschüler

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Wenn man das noch etwas geschickter aufschreibt, stimmt der Satz und auch der Beweis. Aber dann sieht man auch, dass das einem bei der Aufgabe nicht weiterhilft. Das, was einem weiterhelfen könnte, wäre der Beweis des Zusatzes "jede Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist endlich". Habt ihr den schon aufgeschrieben?

Zitat:

Original von SilverBullet
Die verwendeten lemmas :

1 : $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig
2 : Eine der ai ist Linearkomb der restlichen, d.h es existiert ein $\begin{eqnarray*} p \in \{1,.....,n\} mit a_p \in <a_1,..,a_{p-1},a_{p+1},....,a_n> \end{eqnarray*}$
3: Es existiert ein $\begin{eqnarray*} p \in \{1,...,n\} mit <a_1,..,a_{p-1},a_{p+1},...,a_n> = <a_1,...,a_n> \end{eqnarray*}$

Das sind keine Lemmata. Das ist ein einziges Lemma und das besagt: 1,2 und 3 sind äquivalente Aussagen.

Gruß MSS

20.11.2006, 17:53

phi

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Steht eigentlich alles schon da. Um es zu verstehen nehmen wir als Beispiel mal den IR^3 in dem wir jeden Tag rumlaufen, also den 3-dimensionalen Raum:

Die minimalen Erzeugendensysteme, sprich Basen bestehen aus drei Vektoren.

Ein vierter Vektor ließe sich immer als Linearkombination der drei anderen ausdrücken: (gehe die Straße runter, bieg links ab und gehe ins 3. Stockwerk).

Also ist es linear abhängig, somit ließe sich das EZ aus diesen 4 Vektoren zu einem aus 3 Vektoren verkleinern, und es würde immer noch den 3-D-Raum erzeugen.

Hieran erkennt man warum analytische Geometrie und Lineare Algebra im Gymnasium in einem Atemzug genannt werden.

mfg, phi

20.11.2006, 18:20

SilverBullet

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Huch dachte das wär der Beweis des Zusatzes.
Dann wird es wohl sein das

Wissen V besitzt endl. Basis $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n ; sei (b_j)_{j \in J} \end{eqnarray*}$ weitere Basis von V.
=> $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n> = <(b_j)_{j \in J}> \end{eqnarray*}$
=> es Gl. $\begin{eqnarray*} a_i = \sum_{j \in J}~\alpha_{ij} b_j, i=1,...,n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha_{ij} \in K, \alpha_{ij} \neq 0 \end{eqnarray*}$ für i = fest und endlich viele j.

=>a1,...an lassen sich darstellen als Lim konts. von endlich vielen bj

20.11.2006, 18:31

Mathespezialschüler

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Ja, das ist der Beweis des Zusatzes. Aber da du ja nicht mal das rausgefunden hast, ist es fraglich, ob du das überhaupt verstehst?! unglücklich

Gruß MSS

20.11.2006, 18:49

SilverBullet

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Das ist ja das Problem, erstens war der Beweis 2 Seiten weiter daher hab ich das nicht direkt in Zusammenhang gebracht und zweitens versteh ich ihn nicht denn sonst würde ich ja wissen wie ich eine Basis von unendlich vielen Vektoren verkürzen kann, sodass sie nur noch aus endlich vielen besteht.

Klar war das der Beweis das es so geht aber wäre super wenn du mir nen Tipp gibst wie es nun funktioniert. Wenn ich das Verstanden habe werde ich wohl hoffentlich auch den Beweis verstehen unglücklich

20.11.2006, 19:27

SilverBullet

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Sry 4 Doppelpost.
Aber will nur nochmal sagen, dass ich nicht einfach nen Beweis hinklatschen will sondern das es helfen würde das in Worten zu hören also weniger mathematisch wäre super wenn das jmd hinbekommt.

20.11.2006, 19:44

RaketenRichard

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Also bei einem unendlichen EZS A kann man auf jeden Fall sagen, dass es linear abhängig ist.

Da V endlich ist, sind auch alle Basen endlich - A ist also keine Basis und ergo linear abhängig.

Da nun ein linear abhängiges EZS "mehr Vektoren" enthält, als ein linear Unabhängiges, kann man zu jedem unendlichen EZS A ein endliches EZS C finden, das (weil ja beide EZS zum gleichen V sind) eine Teilmenge von A ist.

Ist das bzgl. unendlicher ESZ A soweit richtig?

20.11.2006, 20:11

SilverBullet

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klingt für mich jedenfalls sehr logisch Big Laugh

Danke

20.11.2006, 21:07

RaketenRichard

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Ist aber, meine ich, zu einfach gedacht. Die Lösung liegt wohl eher darin, das unendliche EZS A auf ein endliches EZS C={c1, c2, .. , cn} "zu vereinfachen". Vieleicht mittels einer Vorschrift, die alle Elemente von A auf zu jeweils zu an linear abhängige cn abbildet.

21.11.2006, 10:33

Mathespezialschüler

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Da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein EZS ist, gibt es zu $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ endlich viele Vektoren $\begin{eqnarray*} a_{j_1},\ldots,a_{j_m} \end{eqnarray*}$ und endlich viele Zahlen $\begin{eqnarray*} k_1,\ldots,k_m\in K \end{eqnarray*}$ , sodass

$\begin{eqnarray*} c_1=k_1a_{j_1}+\ldots+k_ma_{j_m} \end{eqnarray*}$

gilt. Entsprechendes kann man für $\begin{eqnarray*} c_2,\ldots,c_n \end{eqnarray*}$ machen und erhält dann eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} B\subset A \end{eqnarray*}$ mit Vektoren, aus denen man die Vektoren $\begin{eqnarray*} c_1,\ldots,c_n \end{eqnarray*}$ alle erzeugen kann. Da $\begin{eqnarray*} C=\{c_1,\ldots,c_n\} \end{eqnarray*}$ ein EZS ist, muss dann auch $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ein EZS sein.

Gruß MSS

21.11.2006, 10:42

zommi

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Nicht mathematisch ausgedrückt heißt das, was MSS sagt:

Wir haben ja einen endlich erzeugten Vektorraum V.
Und besitzen ein unendliches Erzeugendensystem A.

Da der Vektorraum nun aber endlich erzeugt ist, existiert ein endliches Erzeugendensystem C. (Wir können sogar ein minimales nehmen, was wir dann Basis nennen könnten, aber das spielt mal hier keine Rolle)

Da nun A ganz V erzeugt, muss sich jeder Vektor c aus C auch als eine Linearkombination von Vektoren a aus A darstellen.
Jetzt ist aber wichtig, dass diese Linearkombination nur endlich viele Vektoren a umfasst.
Insgesamt werden also für die endlich vielen c aus C jeweils nur endlich viele a aus A benötigt.
Mit diesen endlich vielen a kann man also alle c linear kombinieren (aus denen man wiederum ganz V erzeugen kann)
Damit lässt sich auch ganz V mit diesen endlich vielen a erzeugen. (Sie bilden also ein endliches Erzeugendensystem)

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