Kegel [Geometrie]

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Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »
Kegel [Geometrie]
Gegeben sei die Parametrisierung f: U --> IR^3 , f(x,y) := (x cos(y), x sin(y), x) des Kegels

Zu zeigen ist, dass die Spur von (Lambda aus IR) , die Halbgeraden in K unter konstantem Winkel schneidet.


Also.
c(t) wäre "ausgeschrieben":


Wie zeigt man nun, dass c die Halbgeraden in K unter konstantem Winkel schneidet?
Und, viel wichtiger: Wie sind die Halbgeraden darstellbar?
(Und für die Anschauung: Wie kann man sich diese vorstellen?)

Liebe Grüsse und eine gute Nacht,
Thomi
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel [Geometrie]
Hallo!

Die Geraden sind Ursprungsgeraden mit einem bestimmten Winkel zur z-Achse? Du müsstest zeigen, dass deine Kurve auf dem Kegel liegt und könntest zB den Tangentenvektor ausrechnen. Daraus ergibt sich dann der Schnittwinkel.

Grüße Abakus smile
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel [Geometrie]
Also konkret meinst du, dass ich die Ableitung von c(t) berechnen soll?
(--> Tangentenvektor)

Wie sich dann aber der Schnittwinkel ergeben soll, verstehe (sehe) ich noch nicht...
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel [Geometrie]
Wie berechnest du zB den Winkel zwischen 2 Vektoren?

Grüße Abakus smile
Thomas00 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel [Geometrie]
Ah, kann man also "einfach"
verwenden?

Also, c'(t) wäre dann:


Was kann man nun aber als "Seite a" bzw. b nehmen, um den Winkel herauszukriegen?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kegel [Geometrie]
Zitat:
Original von Thomas00
Ah, kann man also "einfach"
verwenden?


Beim Kreuzprodukt kriegst du den Sinus des Winkels.

Zitat:
Also, c'(t) wäre dann:


Was kann man nun aber als "Seite a" bzw. b nehmen, um den Winkel herauszukriegen?


Deinen Tangentenvektor hast du ja, jetzt nur noch den Vektor, der die Ursprungsgeraden charakterisiert.

Grüße Abakus smile
 
 
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Thomas00:

Gegeben ist ein Kegel, der auf der Spitze steht. Die Spitze liegt im Ursprung (0|0|0). Die Achse des Kegels ist die z-Achse. Die Parameterdarstellung des Kegels lautet



(Bei der urpsrünglichen Aufgabenstellung wird anstelle des Winkels die Variable y verwendet und anstelle von z die Variable x. Zudem werden die Variablen x,y in doppelter Bedeutung gebraucht. Das ist sehr unzweckmäßig und absichtliche Verwirrung.)

Auf dem Kegelmantel wird eine Kurve definiert, indem man die Variablen von einen Parameter t abhängig macht, also und . Einsetzen in die obige Parameterdarstellung liefert die Kurve



Diese Kurve windet sich "schneckenförmig" von der Spitze des Kegels "nach oben" um den Kegelmantel, wobei der Abstand von der xy-Ebene exponentiell mit dem Drehwinkel zunimmt (also sehr schnell).

Unter den "Halbgeraden" versteht der Autor diejenigen Geraden, die durch den Nullpunkt (0|0|0) gehen - also durch die Kegelspitze - und auf dem Kegelmantel liegen. Diese Geraden haben den Winkel 45° zur z-Achse und lauten in Parameterdarstellung (ähnlich wie die obigen Parameterdarstellung des Kegelmantels)



Dabei ist der Winkel fest aber beliebig und s der variable Parameter der Geraden.

Die "momentane Richtung" der obigen "Schneckenkurve" ist gerade deren Ableitung nach dem Parameter t, also



Die "momentane Richtung" der obigen Geradengleichung an derselben Stelle (=Schnittpunkt), also an der Stelle und ist ebenfalls die Ableitung nach dem Parameter s, also



Zu zeigen ist nun, dass der Winkel zwischen beiden Richtungsvektoren konstant ist, also nicht von t abhängt. Man erhält



Das ist in der Tat unabhängig vom Kurvenparameter t.
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