Bild finden

28.11.2010, 10:52

eichenbaum

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Bild finden

Also ich komme gerade nicht weiter weil die Aufgabe doch sehr allgemein gestellt ist:
Sei x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R ^n \end{eqnarray*}$
Man soll das Bild von folgender linearer Abbildung bestimmen:
$\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \mathbb R ^{m,n} \Rightarrow \mathbb R ^m A\Rightarrow Ax \end{eqnarray*}$
Ist mir ein bisschen zu allgemein deswegen bräuchte ich Hilfe....
Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich den linear unabhängigen Spalten.
Wie schreibe ich das alles mit A bzgl. entweder Zeilenstufenform oder Transponieren??

28.11.2010, 11:13

tigerbine

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RE: Bild finden

Zitat:

Das Bild einer Matrix einer linearen Abbildung ist gleich den linear unabhängigen Spalten.

Wie kommst du darauf? Außerdem darfst du A hier nicht "verändern". Die Matrix A ist ein Vektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray*}$ und für ein festes x ist da nun eine lineare Abbildung definiert, nämlich:

$\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \mathbb R^{m \times n} \to \mathbb R ^m, A\mapsto Ax \end{eqnarray*}$

Ein Beispiel wäre:

$\begin{eqnarray*} \phi_{0} : \mathbb R^{m \times n} \to \mathbb R ^m, A\mapsto A\cdot 0 \end{eqnarray*}$

Da wäre das Bild sehr einfach, der (span des) Nullvektor des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^m \end{eqnarray*}$ . (Das Bild einer lin. Abbildung ist ja ein UVR des Bildraums)

Für die weiteren Betrachtungen gibt es also mindestens einen Eintrag in x, der von 0 verschieden ist. Für A muss man alle Matrizen einsetzen. Es empfiehlt sich, eine geeignete Basis zu betrachten, um die Abbildung durch endlich viele Bilder zu beschreiben.

28.11.2010, 11:27

eichenbaum

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Hmmm.....es wäre wohl sinnvoll eine Basis , also einen span für die abbildung zu finden?

28.11.2010, 11:28

tigerbine

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Welche Einfache Basis hat der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray*}$ denn?

28.11.2010, 11:36

eichenbaum

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Die Menge der Einheitsmatrizen......von der dimension m mal n...

28.11.2010, 11:52

eichenbaum

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Gut dann weiß ich das diese Menge den m*n Raum aufspannen würden, aber wie komme ich dann auf das Bild von Ax........Ist das nicht schon der span meiner Basis von R^m*n?

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28.11.2010, 12:30

tigerbine

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Berechne die Bilder B1x, B2x etc.

28.11.2010, 12:33

eichenbaum

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was wäre mein Abbilung für B1.....ich verstehe gerade den formalen Übergang noch nicht...
Oder gemäß dem Beispiel oben mit dem Nullvektor hätte ich ja dann den span vom Vektor x mit x_n Koordinaten über R^m oder?
Oder bringt mir diese Aussage etwas: In den Spalten einer Matirx stehen die Bilder der Basisvektoren bezüglich der zugehörigen linearen Abbildung. ??

28.11.2010, 12:39

tigerbine

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Ich würde mir eben eine seeeeeehr einfache Basis aussuchen.

$\begin{eqnarray*} E_1=\begin{pmatrix}1 &0 &\hdots &0 \\0&0 &\hdots &0\\ \vdots& 0 &\hdots &0 \\ 0&0 &\hdots &0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und welcher Vektor kommt da nun raus, wenn man E1x ausrechnet?

28.11.2010, 12:40

eichenbaum

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(x_1, 0,0,0,......)
was wäre davon das Bild?

28.11.2010, 12:49

tigerbine

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Transponiert. Ja.

28.11.2010, 16:56

eichenbaum

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Ja ok aber ws wäre da das Bild und was bringt mir das für die Gesamtaufgabe.....?generell wäre die Linearkombination einer allgemeinen m kreuz m Matrix doch eigentlich mit der Basis der span folgende:
$\begin{eqnarray*} A = \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}E_{ij} \end{eqnarray*}$
die Basis allgemein wäre E_ij die Einheitsmatrix.....was bringt mir das alles wie komme ich auf das Bild??
I need really Help!

28.11.2010, 17:12

tigerbine

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Manchmal möchte ich böse

böse

, wenn ihr Sätze immer mit einem "ja, aber" ausstattet. Meine Vorschläge dienen nur dazu, dir die Zeit zu vertreiben. verwirrt

verwirrt

Um die lin. Abbildung $\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \mathbb R^{m \times n} \to \mathbb R ^m, A\mapsto Ax \end{eqnarray*}$ zu beschreiben, reicht es die Bilder der Basisvektoren zu kennen. x ist ja fest.

$\begin{eqnarray*} x=(x_1,...,x_n)^T \end{eqnarray*}$

Nun könnte man ja mal alle Bilder der Basisvektoren/Matrizen notieren. Deren Erzeugnis ist der Bildraum. Mit dem was du dir dann schon überlegt hast, bekommt man dann schnell zu einer Matrix A die passende Darstellung des Bildes Ax. smile

smile

28.11.2010, 17:29

eichenbaum

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Ich habe ja schon mal von einer spezeillen Basis das Bild bestimmt: gauß Algorithmus mit Zeilenumformung und Basis bestimmt....allerdings in der transponierten Matrix.....heißt das jetzt nicht das mein aufgeschriebener Span das Bild ist nur dass ich die Indizes vertauschen muss in meine transponierte Form.....

28.11.2010, 17:32

tigerbine

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Das ist heir doch viel zu kompliziert. Warum berechnest du die Bilder unser einfachen Basis nicht ein mal? verwirrt

verwirrt

Die Frage war ja nicht, bestimme eine Basis des Bildes. Sondern das Bild. Da reicht uns ein Erzeugendensystem.

28.11.2010, 17:43

eichenbaum

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Ja von der einfachen Basis ist das Bild (1,0,0,0.........).....allerdings in Zeilenform glaube ich, weil man die Matrix transponiert, anschließend den Herr Gauß verwendet um abschließend die Nichtnullzeilen als Bild zu verwenden.

28.11.2010, 17:52

tigerbine

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Falsch. Und ich weiß auch nicht, warum du es so kompliziert machen willst. verwirrt

verwirrt

Wenn man es allgemein nicht versteht, versucht man m und n mal konkret zu wählen. smile

smile

$\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \mathbb R^{2 \times 2} \to \mathbb R ^2, A\mapsto Ax \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 0\\ x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich doch

$\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \mapsto &&a_{11} \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_{12}\begin{pmatrix} x_2 \\ 0 \end{pmatrix} + a_{21}\begin{pmatrix} 0 \\ x_1 \end{pmatrix} a_{22} \begin{pmatrix} 0 \\x_2 \end{pmatrix} <br /> &&= \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.11.2010, 18:03

eichenbaum

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Vielen Danke für die detaillierte Darstellung! Freude

Freude

Also nachvollziehbar ist das auf jeden Fall aber das Bild müsste man da jetzt noch bestimmen oder?
( Ich blicke bei dem Thema wirklich wenig,weil des relativ schnell angesprochen wurde....)

28.11.2010, 18:06

tigerbine

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Das Bild steht doch da. x1, x2 sind fest.

$\begin{eqnarray*} \text{Bild}(\phi_{x} )=\{ \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{pmatrix} \in \mathbb R^2~|~a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$

28.11.2010, 18:14

eichenbaum

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Aha....dann bestimme ich bloß mit der allgemeinen Matrix ganz analog mein Bild?
Und ist das ganze dann nicht die Vektor Matrix Multiplikation als Summe also Spalte der Matrix mal transponierter Zeilenvektor??

28.11.2010, 18:20

tigerbine

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Erstaunt2

28.11.2010, 18:25

eichenbaum

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Ja in der Darstellung ist doch die Spalte der Matrix multipliziert mit dem x-Vektor und das ist ja dann die Zeile des Bildes?
Und das Beispiel ist ja auch das Prinzip für meine Allgemeine Bildbestimmung?

28.11.2010, 18:31

tigerbine

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Ja sicher, es steht doch Ax da. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wir wollten doch die Struktur der Abbildung nachvollziehen. Dass x hier fest ist und A beliebig sein kann. Nun hängt es von dem x ab, wie das Bild aussieht.

* x ist Nullvektor

* ist in genau einer Komponente

*....

* x ist in keiner Komponente 0.

28.11.2010, 18:32

eichenbaum

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Also mein Bild wäre dann doch:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2}+.....+a_{1m}x_{n} \\ a_{21}x_1+....+a_{2m}x_{n}\\ .....\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.11.2010, 18:38

tigerbine

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Du musst es schon so wie ich schreiben. Als Menge und was man variieren darf.

28.11.2010, 18:40

eichenbaum

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Ja schon aber das Endergebnis würde so ausschauen....oder?

28.11.2010, 18:44

eichenbaum

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wobei es Indexmäßig bei mir Falsch ist weil es $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{11}x_{1} + a_{21}x_{2}+.....+a_{m1}x_{n} \\ a_{12}x_1+....+a_{m2}x_{n}\\ .....\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
heißen müsste...

28.11.2010, 18:45

tigerbine

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"Nein", denn du hast so nur eine Matrix. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber die Bauart passt. Wie gesagt, das Bild ist ein UVR des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ . Ohne x nun zu kennen, kann man nicht mehr sagen.

Warum hast du die Indizes nun gedreht?

28.11.2010, 18:49

eichenbaum

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Ich habe eine Matrix angegeben ....das ist richtig.....Aber diese Matrix ist Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^m \end{eqnarray*}$ dementsprechend langt mir doch diese Matrix als Bild.....ich weiß das x aus R^n ist. verwirrt

verwirrt

Ja..weil m Zeilen und n Spalten Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2010, 18:52

tigerbine

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Die Matrix ist aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray*}$ . In der ersten Zeile von Ax muss aber vorne immer 1 stehen.

28.11.2010, 18:54

eichenbaum

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Aha...stimt geschockt

geschockt

Aber das Bild ist diese Matrix aus der Menge von R^m.......was x jetzt ist hängt ja auch von der Matrixgröße mit ab.....aber die allgemeine Lösung ist das schon oder?

28.11.2010, 19:02

tigerbine

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x ist doch gegeben. Nur eben allgemein als Element aus dem R^n. Wenn es der Nullvektor ist, dann ist das Bild auch der entsprechende Nullvektor. Wenn bei x nur eine Komponente ungleich 0 ist,z.B. x1, was passiert dann?

$\begin{eqnarray*} \phi_{x} : \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \mapsto &&a_{11} \begin{pmatrix} x_1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_{12}\begin{pmatrix} x_2 \\ 0 \end{pmatrix} + a_{21}\begin{pmatrix} 0 \\ x_1 \end{pmatrix} a_{22} \begin{pmatrix} 0 \\x_2 \end{pmatrix} <br /> &&= \begin{pmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

a11 und a21 hängen ja nicht von einander ab.

28.11.2010, 19:06

eichenbaum

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dann wird das Bild eben nur ohne x_1 darstehen da dies wegfällt ...aber da wir nicht wissen wie x explizit ausschau ist meine geschriebene Form soweit richtig.....?

28.11.2010, 19:28

eichenbaum

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Also ich glaube ich habe den Dreh jetzt raus und dank der zahlreichen Erklärung alles relativ detailliert durchschaut.....ich müsste das ganze als Menge meiner Matrix schreiben mit den entsprechenden Variablen als Element aus...mehr kann ich nicht sagen, da ich über x nichts genaues weiß außer dass es aus R^n ist.....
Vielen Dank für deine Mühe und Zeit! Freude

Freude

02.12.2010, 18:11

_-Alex-_

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Kann man irgendwie beweisen, dass mein Bild NICHT ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ ist?

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