Konvergenz einer Reihe

28.11.2010, 13:11

Käseschnitzel

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Konvergenz einer Reihe

Meine Frage:
Hallo!

Ich soll die die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz untersuchen.

Meine Ideen:
Nunja, ich hab es mal mit dem Quotientenkriterium versucht, weil es anscheinend gut bei fakultäten anzuwenden ist. Aber iwie komme ich bei meiner Rechnung nicht weiter. Vielleicht kann mir jemand helfen.

Quotientenkriterium:
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^(n+1} }{\frac{n!}{n^n} } = \frac{n^n * (n-2)! * (n-1) * n * (n+1)}{(n+1)^{n+1} *n*(n-1)} = \frac{n^n * (n-2)!}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1} \right) ^n * (n-2)! \end{eqnarray*}$

Nun kann ich doch behaupten, dass der erste Faktor für n gegen unendlich gegen 0 strebt, somit strebt das ganze Produkt gegen 0.
Also:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0 < 1 \Rightarrow konvergent \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie stört mich die Fakultät da noch. Hab ich irgendetwas falsch gemacht?! unglücklich

unglücklich

28.11.2010, 13:22

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Irgendwie hast du dich mit den Fakultäten verwurschtelt. Schau dir das nochmal an.

28.11.2010, 13:35

Käseschnitzel

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RE: Konvergenz einer Reihe
mhh... ich geh es nochmal schritt für schritt durch..also:

$\begin{eqnarray*} ...= \frac{(n+1)!*n^n}{(n+1)^{n+1}* n!} = \frac{n^n *(n-2)! * (n-1) * n * (n+1)}{(n+1)^{n+1} * n * (n-1)} = \frac{n^n * (n-2)! * (n+1)}{(n+1)^{n+1}}= \frac{n^n * (n-2)! * (n+1)}{(n+1)(n+1)^{n}} = \frac{n^n *(n-2)!}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1} \right)^n * (n-2)! \end{eqnarray*}$

Ich finde den Fehler nicht...

28.11.2010, 14:08

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Du schreibst im Nenner n! = n * (n-1) . unglücklich

unglücklich

28.11.2010, 14:11

Käseschnitzel

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RE: Konvergenz einer Reihe
also ich vielleicht noch eine Bemwerkung zu meiner umformung:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n-2)! * (n-1) * n * (n+1) \end{eqnarray*}$

Ich glaube, dass das auch richtig ist. Aber bin mir nicht sicher smile

smile

28.11.2010, 14:15

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Das ist zwar schön, aber warum so kompliziert?

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = n! * (n+1) \end{eqnarray*}$ reicht doch auch schon.

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28.11.2010, 14:15

Käseschnitzel

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RE: Konvergenz einer Reihe
ich trottel...
es muss heißen:
$\begin{eqnarray*} n! = n * (n-1)! \end{eqnarray*}$
oder?

28.11.2010, 14:16

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Siehe oben.

28.11.2010, 14:25

Käseschnitzel

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RE: Konvergenz einer Reihe
Ach mann, ich mache es mir auch wirlich immer schwer...einfach mal einfach denken smile

smile

Also ich habe deine Hinweise befolgt und bin dann auf folgendes ergebnis gekommen:

$\begin{eqnarray*} ....= \frac{n! * (n+1) *n^n}{(n+1)^{n+1} * n!} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left(\frac{n}{n+1} \right) ^n \end{eqnarray*}$

Reicht es denn jetzt zusagen, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(\frac{n}{n+1} \right) ^n = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn mich nicht alles täuscht, ist das doch eine Nullfolge..

28.11.2010, 14:28

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Da täuscht du dich. Der Grenzwert sollte dir schon mal begegnet sein.

28.11.2010, 14:33

Käseschnitzel

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RE: Konvergenz einer Reihe
mhh...ne, ich glaube der ist mir noch nicht begegnet unglücklich

unglücklich

28.11.2010, 14:42

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Dann mußt du dir nochmal die komplette Vorlesung ansehen oder auf Wiki schauen:

http://de.wikipedia.org/wiki/E-Funktion#Definition

28.11.2010, 14:45

Katara

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RE: Konvergenz einer Reihe
ich brauche echt dringend hilfe... kann mir nicht einer helfen????

28.11.2010, 14:51

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
@Katara: bitte unterlasse die Hilfeschreie in fremden Threads. Lehrer

Lehrer

28.11.2010, 14:53

Käseschnitzel

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RE: Konvergenz einer Reihe
Also in der Vorlesung haben wir bewiesen, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \left(1 + \frac{1}{n} \right) ^ n = : e \end{eqnarray*}$

meintest du das? Wenn ja, sehe ich die passende umformung nicht, wie ich dadrauf komme... das kann doch nicht so schwer sein unglücklich

unglücklich

28.11.2010, 15:00

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Heidinei. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = \left(\frac{n+1}{n} \right)^n = \frac{1}{\left(\frac{n}{n+1} \right)^n} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n}{n+1} \right)^n = \frac{1}{\left(1 + \frac{1}{n} \right)^n} \end{eqnarray*}$

28.11.2010, 15:07

Jucky81

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RE: Konvergenz einer Reihe
Ist e aber nicht die Reihe n^n / n!

Hier ist aber ja nach der Reihe n! / n^n gefragt... ???

Vor der selben Aufgabe sitze ich auch zur Zeit und komme über das Quotienkriterium auf das,
was klarsoweit jetzt im 16 Post auch kommt..
aber das ist doch nicht e? Sondern geht bei unendlich gegen Null?

Grüße

28.11.2010, 15:09

Käseschnitzel

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RE: Konvergenz einer Reihe
Hammer

Hammer

uh mann, warum denk ich immer so kompliziert?! dass muss ich mir abgewöhnen..
Vielen Dank für deine Hilfe smile

smile

Also jezt aber:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n } = \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow konvergent \end{eqnarray*}$

So ist aber nun richtig, oder?! smile

smile

28.11.2010, 15:29

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Ja. Freude

Freude

Zitat:

Original von Jucky81
Ist e aber nicht die Reihe n^n / n!

Nein. Es ist $\begin{eqnarray*} e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} \end{eqnarray*}$

28.11.2010, 15:43

Jucky81

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Ah, danke... jetzt hab ichs auch verstanden smile

smile

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