Cauchy Konvergenzkriterium

28.11.2010, 13:45

Janni87

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Cauchy Konvergenzkriterium

Hallo Leute, es geht um folgende Aufgabe:

Zeigen Sie mithilfe des Cauchy Konvergenz-Kriteriums, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n = \frac{(-1)^{k} }{2\cdot k+1} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Ich hab die Folge erstmal umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n = \frac{e^{\pi \cdot i\cdot k} }{2\cdot k+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich diese Folge ja nach oben abschätzen, aber welches n_0 wähle ich hier??Also wie schätze ich genau nach oben ab?

ich schreibe also hin:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n = \frac{e^{\pi \cdot i\cdot k} }{2\cdot k+1} \end{eqnarray*}$ < ........ < ......... $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$

28.11.2010, 13:51

Abakus

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von Janni87
Zeigen Sie mithilfe des Cauchy Konvergenz-Kriteriums, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n = \frac{(-1)^{n} }{2\cdot k+1} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Hallo!

Deine Folge (n ist Folgenindex ja?) konvergiert nicht.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 13:54

Janni87

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium
Hää, die nette Dame mit Diplom meinte diese Folge konvergiert gegen pi / 4 ??!

Also nochmal die Aufgabe:

a) Untersuchen sie die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n = \frac{(-1)^{k} }{2\cdot k+1} \end{eqnarray*}$ mithilfe des Cauchy-Kriteriums auf Konvergenz.

28.11.2010, 13:57

IfindU

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

Original von Janni87
Zeigen Sie mithilfe des Cauchy Konvergenz-Kriteriums, dass die Folge $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n = \frac{(-1)^{n} }{2\cdot k+1} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Hallo!

Deine Folge (n ist Folgenindex ja?) konvergiert nicht.

Grüße Abakus smile

smile

Warum sollte eine endliche Summe nicht konvergieren? Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.11.2010, 14:00

Janni87

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium
Ich hab oben nochmal die Aufgabe komplett hingeschrieben.

28.11.2010, 14:01

Abakus

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium
Solange der Exponent der (-1) ein n ist, sind alle Summanden einmal positiv, dann wieder negativ usw. Da hilft die nette Dame auch nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

@ IfindU: es soll ja eine Folge mit Folgenindex n sein.

Grüße Abakus smile

smile

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28.11.2010, 14:03

IfindU

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von Abakus
@ IfindU: es soll ja eine Folge mit Folgenindex n sein.

Hammer

Das stimmt natürlich.

28.11.2010, 14:04

Janni87

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium
Mein Derive Programm sagt, dass das was hinter der Summe steht konvergiert gegen 0. Die nette Frau sagt pi / 4 und du sagst die Folge konvergiert nicht..Hmm ich hab eine 33.33333%ige Chance..

Meiner Meinung konvergiert diese Folge nicht, da sich das Vorzeichen ja immer ändert...Für n = gerade = positiv analog ungerade = negativ.

Aber wie schreibe ich das auf mit dem Kriterium?? Ich muss ja an einer Stelle kommen, wo es einen Widerspruch gibt.

28.11.2010, 14:06

Abakus

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von Janni87
a) Untersuchen sie die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ := $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n = \frac{(-1)^{k} }{2\cdot k+1} \end{eqnarray*}$ mithilfe des Cauchy-Kriteriums auf Konvergenz.

Hier ist der Exponent der (-1) nun ein k, das ist etwas völlig anderes und hier klappt es.

Also Cauchy-Kriterium: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ .....

Was musst Du nun zeigen?

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 14:10

Janni87

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium
Also ich muss einfach nach Definition gehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_{n} \end{eqnarray*}$ kovergent, $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \forall m > n > n_0 : | \sum\limits_{k=n}^m a_n | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Hey ganz großes Sorry, oben im Exponenten muss k stehen und nicht n !!!

28.11.2010, 14:16

Abakus

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von Janni87
Also ich muss einfach nach Definition gehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_{n} \end{eqnarray*}$ kovergent, $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \forall m > n > n_0 : | \sum\limits_{k=n}^m a_n | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Ja, korrekt. Den ersten Schritt habe ich dir bereits hingeschrieben, nämlich die Vorgabe des Epsilons. Alles was nun noch zu tun ist, ist ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ mit den verlangten Eigenschaften zu finden.

Dieses $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ darf natürlich von Epsilon abhängig sein. Aber erstmal, was müsste konkret gelten, d.h. wie sehen die geforderten Eigenschaften genau aus?

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 14:22

Janni87

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium
Also ich hab das Problem diesen Index zu finden. Wir haben schon mindestens 10 Mal gefragt wie man das macht, aber schlüssige Antworten bekommen wir nicht.

Also ich könnte doch einfach sagen, dass wir für $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ als das 5. Folgeglied nehmen oder, da diese Folge sowieso divergiert ist es ja egal wo wir den Index setzen?

Also ich rechne manchmal ganz gerne mit Beispielen.

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon = 0.1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0=5 \end{eqnarray*}$

28.11.2010, 16:04

Abakus

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von Janni87
Also ich könnte doch einfach sagen, dass wir für $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ als das 5. Folgeglied nehmen oder, da diese Folge sowieso divergiert ist es ja egal wo wir den Index setzen?

Moment: die erste von dir angegebene Folge ist divergent, ja. Das lag - wie wir jetzt wissen - wohl an einem Schreibfehler beim Exponenten des (-1). Schau es dir nochmal an.

Die Folge in der Aufgabe - wie du es nochmal aufgeschrieben hast - ist konvergent.

Kleine Unterschiede haben in Formeln oft ganz große Wirkungen.

Zitat:

Also ich rechne manchmal ganz gerne mit Beispielen.

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon = 0.1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0=5 \end{eqnarray*}$

Mache ich auch gerne, mit Beispielen zu rechnen. Nur hier musst Du das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ für deinen Beweis in Abhängigkeit von Epsilon bestimmen.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 16:06

Janni87

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium
Ich verstehe diese Abhängigkeit nicht so genau, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ = 0.1 ist, was ist denn dann $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ . Welche Zuordnung von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gilt?

28.11.2010, 16:50

Abakus

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium

Zitat:

Original von Janni87
Ich verstehe diese Abhängigkeit nicht so genau, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ = 0.1 ist, was ist denn dann $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ . Welche Zuordnung von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gilt?

Genau diese Zuordnung ist in der Aufgabe zu ermitteln.

Wenn Du immer 2 Summanden klammerst, sieht es so aus:

$\begin{eqnarray*} (\frac{1}{21} - \frac{1}{23}) + (\frac{1}{25} - \frac{1}{27}) +~ . . . ~\geq 0 \end{eqnarray*}$

und umgekehrt:

$\begin{eqnarray*} (- \frac{1}{23} + \frac{1}{25}) + (- \frac{1}{27} + \frac{1}{29}) +~ . . .~ \leq 0 \end{eqnarray*}$

Aus letzterem kannst du folgern:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{21} + (- \frac{1}{23} + \frac{1}{25}) + (- \frac{1}{27} + \frac{1}{29}) +~ . . .~ \leq \frac{1}{21} \end{eqnarray*}$

Das sollte dir die nötige Idee geben.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 16:57

Janni87

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium
Danke sehr Gott

Gott

Gott

Gott

28.11.2010, 17:07

Abakus

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RE: Cauchy Konvergenzkriterium
Du musst es natürlich noch präzise formalisieren und dabei ggf. auch unterschiedliche Fälle betrachten oder begründen, wieso Du die oE nicht betrachten brauchst.

Grüße Abakus smile

smile

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