Heron-Verfahren - Grenzwert

28.11.2010, 14:09

ichbins!

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Heron-Verfahren - Grenzwert

Meine Frage:
Hallo!
Ich komme nicht weiter bei der folgenden Aufgabe:
gegeben ist: $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ , a>0;
für $\begin{eqnarray*} x_{0}>0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ rekursiv definiert durch:
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n} } \right) \end{eqnarray*}$ , n ist Element der natürlichen Zahlen.

Jetzt muss ich zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} x_{0}>0 \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ konvergiert. Dazu soll ich zuerst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt und dass $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ monoton steigend ist. Dann soll ich noch den Grenzwert berechnen.

Meine Ideen:
So, also erstmal habe ich herausgefunden, dass das ganze sich um das Heron-Verfahren dreht...
Jetzt wollte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \geq a \end{eqnarray*}$ ist und dass die Folge monoton fallend ist. Daraus müsste dann folgen, dass $\begin{eqnarray*} x_{n} \end{eqnarray*}$ erst recht $\begin{eqnarray*} \geq a \end{eqnarray*}$ ist,
da dann $\begin{eqnarray*} x_{n}\geq x_{n+1}\geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ gilt.

Wäre das erstmal die richtige Überlegung? Dann würde ich noch posten, was ich für Ansätze hab, um zu zeigen $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \geq a \end{eqnarray*}$ . Da komm ich nämlich nicht so ganz zum Schluss...
Oder muss ich das ganze ganz anders angehen?

Ich bedanke mich schonmal im Voraus für Hilfe!

28.11.2010, 17:42

Abakus

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
Hallo!

Prinzipiell richtig gedacht: Monotonie und Beschränktheit in der richtigen Richtung folgt Konvergenz. Starte mal deinen Nachweis.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 18:06

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
Okay, dankeschön!
Also
z.z. $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(x_{n} + \frac{a}{x_{n} } \right) \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(x_{n} + \frac{a}{x_{n} } \right) = \frac{1}{2} x_{n} + \frac{1}{2}\frac{a}{x_{n} } = \frac{x_{n}^{2} }{2 x_{n} } + \frac{a}{2 x_{n} } \end{eqnarray*}$
und das soll $\begin{eqnarray*} \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ sein...
eigentlich war mein Ziel, dass ich hinkriege, dass da am Ende steht $\begin{eqnarray*} a \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ , aber auf a komme ich auf der linken Seite nicht....

also, es wär toll, wenn du mir da noch einen Tipp geben könntest... (oder ist dieser Ansatz dann vielleicht (doch) nicht so richtig...?!)

28.11.2010, 18:21

Abakus

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert

Zitat:

Original von ichbins!
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\left(x_{n} + \frac{a}{x_{n} } \right) \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Was passiert, wenn du das quadrierst?

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 18:47

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
hm.... also dann steht da erstmal:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \left(x_{n} + \frac{a}{x_{n} } \right) ^{2} \geq a \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \left(x_{n}^{2} + 2 x_{n} \frac{a}{x_{n}} + \frac{a^{2} }{x_{n}^2 } \right) \geq a \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n}^{2} }{4} + \frac{a}{2} + \frac{a^{2}}{x_{n}^{2} } \geq a \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n}^{4} + 2a x_{n}^{2} + 4 a^{2}}{4x_{n}^{2} } \geq a \end{eqnarray*}$
das könnte ich jetzt wieder umschreiben in:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(x_{n}^{2} + a \right)^{2} + 4}{4 x_{n}^{2} } \geq a \end{eqnarray*}$

hm... und nun?! Sorry, aber irgendwie scheine ich noch nicht den Durchblick zu haben....?

28.11.2010, 18:51

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
ähm... ja der allerletzte Schritt war Quatsch... fällt mir gerad auf...

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28.11.2010, 18:56

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
okay, einen Moment- ich setze fort!

28.11.2010, 19:04

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
also ich kann ja natürlich noch weitermachen! Hammer

Hammer

also:
$\begin{eqnarray*} x_{n}^{4} + 2a x_{n}^{2} + 4a^{2} \geq 4a x_{n}^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n}^{4} + 4a^{2} \geq 2a x_{n}^{2} \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} 2a x_{n}^{2} \left( \frac{x_{n}^{2}}{2a} + \frac{2a}{x_{n}^{2} } \right) \geq 2a x_{n}^{2} \end{eqnarray*}$
und das stimmt!

und damit wäre jetzt bewiesen, dass
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} \geq \sqrt{a} ist und damit auch x_{n} \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Stimmts so?

...dann könnte ich ja (endlich) mit der Monotonie beginnen... smile

smile

28.11.2010, 19:08

Abakus

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert

Zitat:

Original von ichbins!
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \left(x_{n}^{2} + 2 x_{n} \frac{a}{x_{n}} + \frac{a^{2} }{x_{n}^2 } \right) \geq a \end{eqnarray*}$

Das könntest Du umformen zu:

$\begin{eqnarray*} \left(x_{n}^{2} - 2 x_{n} \frac{a}{x_{n}} + \frac{a^{2} }{x_{n}^2 } \right) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Mit 2-ter binomischer Formel sehen wir, das es richtig ist.

OK, also Monotonie dann.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 19:20

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert

Zitat:

Original von Abakus

Zitat:

Original von ichbins!
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \left(x_{n}^{2} + 2 x_{n} \frac{a}{x_{n}} + \frac{a^{2} }{x_{n}^2 } \right) \geq a \end{eqnarray*}$

Das könntest Du umformen zu:

$\begin{eqnarray*} \left(x_{n}^{2} - 2 x_{n} \frac{a}{x_{n}} + \frac{a^{2} }{x_{n}^2 } \right) \geq 0 \end{eqnarray*}$

Hm- kannst du mir den Schritt bitte noch ein bisschen erklären? Ich komme da gerade gar nicht drauf, wie ich vom einen aufs andere komme...?! (Oder ich hab gerad wieder ein fettes Brett vorm Kopf?!)

Das wäre super!! Danke schonmal bis hierher!
An der Monotonie versuch ich mich dann mal...

28.11.2010, 19:23

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
Oh mann- es tut mir Leid- ich poste immer was- und in dem Moment (bzw. kurz darauf kommt mir die Erleuchtung... das gibts doch nicht!)
Also das ist jetzt klar...
und JA, ich hatte ein Brett vorm Kopf! LOL Hammer

LOL Hammer

28.11.2010, 19:42

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
So: Monotonie!

z.z. Die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist monoton fallend, es gilt also $\begin{eqnarray*} x_{n+1}\leq x_{n} \end{eqnarray*}$

also:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \left(x_{n} + \frac{a}{x_{n} } \right) \leq x_{n} \end{eqnarray*}$

dann komme ich schließlich auf:
$\begin{eqnarray*} a \leq x_{n}^{2} \end{eqnarray*}$
und wenn ich dann daraus die Wurzel ziehe, steht da:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq x_{n} \end{eqnarray*}$
(und den letzten Schritt folgere ich - das ist also keine Äqivalenz, oder?!)

Ja und dass das gilt habe ich ja eben bewiesen, oder?
(Wobei mir gerad auffällt, dass ich ja eigentlich andersherum schließen wollte: also wenn $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ UND die Folge monoton fallend ist, kann ich daraus schließen, dass auch $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ist...
jetzt bin ich gerad wieder ganz verwirrt.... drehe ich mich gerad im Kreis?

28.11.2010, 20:01

Abakus

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
Versuchs mal andersrum aufzuschreiben, dann sollte das klappen.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 20:35

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
Ähm- wie andersrum? Was denn andersrum?

28.11.2010, 20:40

Abakus

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert

Zitat:

Original von ichbins!
Ähm- wie andersrum? Was denn andersrum?

Ich meinte, dass Du es mal in der anderen Schlußrichtung aufschreiben solltest. Also dass die Monotonie letztlich folgt.

Hast du das, käme noch die Berechnung des Grenzwertes.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 20:58

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
also soll ich das aufschreiben:

wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ ist die Folge monoton fallend! (?)

--> aber ich habe jetzt ja dann gar nicht bewiesen, dass das $\begin{eqnarray*} a_{n} \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ gilt, oder? Sondern nur, dass $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \geq \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ gilt!?

Ja - und zur Grenzwertberechnung: Folgt jetzt nicht automatisch, das $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \end{eqnarray*}$ der Grenzwert ist?

28.11.2010, 21:08

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
also normalerweise würde ich denk Grenzwert jetzt mit
$\begin{eqnarray*} | a_{n} - a | < epsilon \end{eqnarray*}$
mit a=vermuteter Grenzwert (Wurzel aus a) überprüfen, aber ich kenne ja $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ gar nicht... oder?

28.11.2010, 22:51

Abakus

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert

Zitat:

Original von ichbins!
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n} } \right) \end{eqnarray*}$

Du weißt jetzt, dass $\begin{eqnarray*} x_n \to g \end{eqnarray*}$ gilt. Das kannst du jetzt in obige Gleichung einsetzen und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ganz einfach ausrechnen.

Grüße Abakus smile

smile

29.11.2010, 00:18

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
Oh mann, sorry, das verstehe ich gerad wieder nicht....

also ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} --> g \end{eqnarray*}$ - mit anderen Worten: Ich weiß, dass die Folge konvergiert, oder? Mehr sagt mir das doch eigentlich nicht, oder?

Aber was soll ich dann jetzt einsetzen in der Gleichung?

Okay, also es ist (noch) nicht klar, dass Wurzel a der Grenzwert ist, weil es auch noch sein könnte, dass ein kleinerer Wert der Grenzwert ist, richtig?
Denn die Folge ist monoton fallend und $\begin{eqnarray*} \sqrt{a} \leq x_{n} \end{eqnarray*}$ --> dann kann ich also nur nicht sagen, dass Wurzel a der Grenzwert ist, weil es theoretisch noch einen kleineren Wert geben könnte, der der Grenzwert ist...

Da die Aufgabenstellung sagt, ich soll zeigen, dass Wurzel a der Grenzwert ist, weiß ich ja eigentlich schon, dass das stimmt, oder?
Und ich soll doch den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ berechnen?! (nicht etwa von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$

Ja, also es wär echt toll, wenn du mir da nochmal weiterhelfen könnest (auch wenn wohl nicht mehr jetzt so spät! Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

29.11.2010, 20:43

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
Kannst du mir nochmal einen kleinen Tipp geben... ich komm da nicht hinter, was ich jetzt einsetzen kann... doch nicht "g" oder?
Wurzel a? und wofür einsetzen?

Ich weiß doch, dass Wurzel a der Grenzwert ist, oder? Das war ja eigentlich gegeben in der Aufgabe und das sollte ich "nur" Augenzwinkern

Augenzwinkern

beweisen...?!

29.11.2010, 20:54

Abakus

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert

Zitat:

Original von ichbins!
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n} } \right) \end{eqnarray*}$

Du weißt, dass $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert, nimm an gegen den bis jetzt unbekannten Grenzwert $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

Natürlich geht dann auch $\begin{eqnarray*} x_{n+1} \to g \end{eqnarray*}$ . Das kannst du jetzt beides in obige Gleichung einsetzen.

Das Ergebnis ist eine Gleichung, in der nur $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ stehen, d.h. Du könntest dann versuchen das $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ auszurechnen.

Grüße Abakus smile

smile

29.11.2010, 21:02

ichbins!

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert
Hey, schön, dass du mir nochmal hilfst! smile

smile

okay, also dann setze ich einfach für $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ g ein, d.h.

$\begin{eqnarray*} g= \frac{1}{2} \left(g+\frac{a}{g} \right) \end{eqnarray*}$

und dann steht da nach Umformen entgültig + endlich:
$\begin{eqnarray*} g =\sqrt{a} \end{eqnarray*}$

Super! Und ich bin endlich mit der Aufgabe fertig!! Tanzen

Tanzen

Vielen, vielen lieben Dank!

29.11.2010, 21:58

Abakus

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RE: Heron-Verfahren - Grenzwert

Zitat:

Original von ichbins!
Und ich bin endlich mit der Aufgabe fertig!! Tanzen

Tanzen

OK. Die hier angewandten Beweisprinzipien sind es darüberhinaus wert, verinnerlicht zu werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Grüße Abakus smile

smile

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