Grenzwert (limes)

17.11.2006, 14:51

Nuuky

Grenzwert (limes)

Hallo,

ich habe eine Aufgabe zur Berechnung des Grenzwertes. Einmal durch Umformung und einmal mit der Regel von Bernoulli de L'Hospital. Ich habe die Aufgabe gerechnet und habe zur Kontrolle in Maple nachrechnen lassen. Wie kann es anders sein, es kommt ein anderes Ergebnis raus.

Jetzt zu meinen Schritten

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \sqrt(2)} \frac{x^4+x^2-6}{x^2-2} = \frac {0}{0} \end{eqnarray*}$

Bernoulli:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \sqrt(2)} \frac{x^4+x^2-6}{x^2-2} = \frac{(4x^3+2x)(x^2-2)-(x^4+x^2-6)(2x)}{(x^2-2)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{2x^5-8x^3+8x}{(x^2-2)^2} = \frac{2x(x^4-4x^2+4)}{x^4-4x^2+4} = 2*\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Maple jedoch sagt mir, dass der Grentwert 5 sein soll... was hab ich falsch gemacht?

Vielen Dank & Grüße
Nuuky

17.11.2006, 14:53

klarsoweit

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RE: Grenzwert (limes)

Zitat:

Original von Nuuky
Bernoulli:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \sqrt(2)} \frac{x^4+x^2-6}{x^2-2} = \frac{(4x^3+2x)(x^2-2)-(x^4+x^2-6)(2x)}{(x^2-2)^2} \end{eqnarray*}$

Wie es ausschaut, hast du die komplette Funktoin abgeleitet. Die l'Hospital-Regel besagt aber, daß du Zähler und Nenner getrennt ableiten mußt. Augenzwinkern

17.11.2006, 14:55

Nuuky

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RE: Grenzwert (limes)
achso, dass heisst ich muss den nenner nicht nach der quotienten regel ableiten.. richtig?

17.11.2006, 15:00

klarsoweit

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RE: Grenzwert (limes)
Ein klares Jein. Wenn im Nenner ein Quotient steht, dann mußt du diesen natürlich nach der Quotientenregel ableiten. Augenzwinkern

Die Funktion selbst wird nicht nach der Quotientenregel abgeleitet, sondern - wie ich schon sagte - Zähler und Nenner jeweils getrennt.

17.11.2006, 15:17

Nuuky

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RE: Grenzwert (limes)
Ja jetzt ist es mir klar... Die Aufgabe ist einfacher, wenn man sie richtig macht :-)

Also folgendes hab ich gemacht und es kommt das richtige Ergebnis raus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \sqrt(2)} \frac{x^4+x^2-6}{x^2-2} = \frac{4x^3+2x}{2x} = \frac{2x(2x^2+1)}{2x} = 2*\sqrt(2)^2 +1 = 5 \end{eqnarray*}$

17.11.2006, 15:24

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Polynomdivision ist natürlich auch eine naheliegende Option, wenn Zähler und Nenner ganzrationale Funktionen mit teilweise übereinstimmenden Nullstellen sind:

$\begin{eqnarray*} x^4+x^2-6 = (x^2-2)(x^2+3) \end{eqnarray*}$

17.11.2006, 15:25

klarsoweit

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RE: Grenzwert (limes)
Du solltest immer schön den limes davor schreiben. Sonst könnte man auf die Idee kommen, daß $\begin{eqnarray*} \frac{x^4+x^2-6}{x^2-2} = \frac{4x^3+2x}{2x} \end{eqnarray*}$ ist. Augenzwinkern

17.11.2006, 19:03

Mathespezialschüler

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