Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

28.11.2010, 15:01

Speedylink

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Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass die rekursiv definierte Folge

$\begin{eqnarray*} a_{0} = 1, a_{n+1} = 1 + \frac{a_{n} }{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N0 \end{eqnarray*}$
konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.

Meine Ideen:
Dass die Folge konvergiert ist leicht zu sehen, sie ist beschränkt durch 1 und 2, habe aber Probleme damit, dies zu beweisen. Ich denke ich muss zeigen, dass 2 - die Gleichung immer > 0 ist.

Beim Grenzwert berechnen fehlt mir der Ansatz. Muss ich das mit vollständiger Induktion prüfen?

Bin über jeden Hinweis dankbar. Wäre nett die Antworten i-wie anfängerfreundlich zu gestalten, bin nämlich kein großer Mathechecker smile

smile

28.11.2010, 15:23

klarsoweit

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RE: Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

Zitat:

Original von Speedylink
Dass die Folge konvergiert ist leicht zu sehen, sie ist beschränkt durch 1 und 2,

In welcher Weise beschränkt? verwirrt

verwirrt

Zumindest ist a_3 = 9/4 .

Zitat:

Original von Speedylink
Beim Grenzwert berechnen fehlt mir der Ansatz. Muss ich das mit vollständiger Induktion prüfen?

Wenn die Folge a_n gegen g konvergiert, kannst du einfach g in die Rekusrionsgleichung einsetzen.

28.11.2010, 15:48

Speedylink

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Es ist doch

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1+\frac{1+\frac{a_{n} }{2} }{2} }{2} \end{eqnarray*}$ usw.

Daraus folgt doch, dass die Folge gegen 2 geht. Verstehe deshalb "a_3 = 9/4" nicht ganz.

28.11.2010, 16:47

klarsoweit

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Also daß a_3 = 9/4 ist, steht wohl nicht zur Diskussion.
Und eine Folge kann auch "von oben" gegen 2 konvergieren. smile

smile

28.11.2010, 19:38

Gis

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Wenn ich hier auch fragen darf, möchte ich gerne wissen wie kommst du zu 9/4, das verstehe ich nicht, es wäre sehr nett von dir, wenn du das mir erklären könntest. Danke im Voraus

29.11.2010, 10:00

klarsoweit

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Also manchmal Könnte ich mir in den Bauch beißen. Ich hab's 3-mal nachgerechnet und wohl jedesmal den gleichen Fehler gemacht. Jetzt weiß ich selber nicht, was ich gerechnet habe. Hammer

Hammer

OK. Die Folge ist also monoton steigend und nach oben durch 2 beschränkt. Das mußt du natürlich noch beweisen. Mit vollständiger Induktion sollte das recht simpel gehen.

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29.11.2010, 12:33

IDIOTENTEST

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Induktion über n oder was?

29.11.2010, 12:52

klarsoweit

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Über was sonst? Ich bin fast geneigt, deinen Beitrag als Spam zu brandmarken.

29.11.2010, 13:39

wisili

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Alternative:
Man studiert die Folge (b_n), insbesondere deren Rekursionsformel, mit b_n=2-a_n.

29.11.2010, 20:35

salamaleikum

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Kann mir mal jemand helfen. So habe ich die Induktion aufgebaut:

Induktionsanfang:

für das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ lässt sich ein Index N finden so, dass alle Epsilons größer als der Abstand des Folgenglieds zum Grenzwert.

Induktionsschritt:
Annahme: Wir nehmen an, die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ sei wahr und es läßt sich zu jedem Epsilon ein Index N finden, so dass der Abstand stimmt.

Behauptung:
Dies muss dann also auch für $\begin{eqnarray*} a_{n}+1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Induktionsschluß:

Ersetzt man $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ durch den Term, so sieht man, dass die Folge immer kleiner wird und wohl gegen 2 konvergiert, d.h. es wird sich für alle Epsilons immer ein Index N finden lassen, so dass der Abstand von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ zum Grenzwert kleiner ist als Epsilon:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 1+ \frac{(1+ \frac{a_{n}}{2})}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Masterfrage: Geht der Aufbau so klar oder ist das kompletter Schwachsinn?

29.11.2010, 20:48

incocknito

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Weiterhin gilt:

a_{n} < a_{n+1}

Somit wird klar warum es konvergiert.

29.11.2010, 22:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von salamaleikum
Induktionsanfang:

für das Folgenglied $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ lässt sich ein Index N finden so, dass alle Epsilons größer als der Abstand des Folgenglieds zum Grenzwert.

Das ist in sich schon Unfug, denn das hat mit der Grenzwertdefinition gar nichts zu tun. Es kommen zwar irgendwie diegleichen Worte vor, aber das war es auch schon.

Was zu machen ist, hatte ich schon gesagt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Die Folge ist also monoton steigend und nach oben durch 2 beschränkt. Das mußt du natürlich noch beweisen. Mit vollständiger Induktion sollte das recht simpel gehen.

29.11.2010, 22:25

salam

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ah stimmt man, ich fisch alder. Ich hab jetzt berschränktheit bewiesen und dann monotonie und siehe da der grenzwert und dir konvergenz waren geboren. Big Laugh

Big Laugh

tight!

29.11.2010, 22:28

salamaleikum

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man man, sowas regt mich auf. Manchmal macht mein Kopf einfach nur shice arghh!! Was ist nur los mit mir heute!

wxww.youtube.com/watch?v=MA5Pjw_cZn0

29.11.2010, 22:34

Airblader

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@ salamaleikum

Mal so ein Hinweis: Das hier ist Mathematik. Zur Mathematik gehört auch eine vernünftige Sprache. Sehen deine Übungsabgaben auch so aus ("shice", "alder", "tight", ...)? Wäre ich Tutor - und ich wäre sicher kein allzu strenger Tutor - dann würde ich dir dafür gnadenlos Punkte abziehen.

Vor allem aber: Es gibt hier ein Forenprinzip. Versuche also bitte, wenigstens im Board ein gewisses sprachliches Niveau zu halten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

30.11.2010, 08:58

wogir

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Zitat:

Original von Airblader
@ salamaleikum

Mal so ein Hinweis: Das hier ist Mathematik. Zur Mathematik gehört auch eine vernünftige Sprache. Sehen deine Übungsabgaben auch so aus ("shice", "alder", "tight", ...)? Wäre ich Tutor - und ich wäre sicher kein allzu strenger Tutor - dann würde ich dir dafür gnadenlos Punkte abziehen.

Harharhar, Beef mit dem Tutor.

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