Gleichheit der Dimensionsformel

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28.11.2010, 18:37	Tortinho	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit der Dimensionsformel Meine Frage: ich habe gezeigt, dass $\begin{eqnarray} dim(U1 + U2 + U3) \leq dim U1 + dim U2 + dim U3 - dim(U1 \cap \ U2) - dim(U1 \cap \ U3) - dim(U2 \cap \ U3)+ dim(U1 \cap \ U2 \cap \ U3) \end{eqnarray}$ gilt nur habe ich keinen Plan wie ich an die zweite Teilaufgabe rangehen soll... (b) Entscheiden Sie, ob in obiger Formel stets die Gleichheit gilt, und begründen Sie Ihre Entscheidung durch Beweis oder Gegenbeispiel. Meine Ideen: Das einzige was mir einfällt ist, dass die Gleichheit nur dann erfüllt ist wenn gilt: $\begin{eqnarray} dim(U1 \cap \ U2 \cap \ U3)=0 \end{eqnarray}$ ??
28.11.2010, 18:54	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du auf deine Idee? Hast du ein Gegenbeispiel gefunden dass das belegt? Ich würde mir nochmals die Dimensionsformel anschauen mit nur zwei Untervektorräumen und diese auf "spezielle" UVR anwenden.
28.11.2010, 19:03	Tortinho	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich drauf komme ist recht simpel erklärt. Wir haben in der Vorlesung bewiesen, dass $\begin{eqnarray} dim (U1 + U2) = dim U1 + dim U2 - dim (U1\cap U2) \end{eqnarray}$ gilt und da wird schließlich nicht noch son Käse hintendran addiert. Schmeiß nun bitte nicht mein Beweiskonzept über den Haufen. ich hab das halt für alle U gültig gemacht. Und da da noch was addiert wird muss es ja größer sein
28.11.2010, 19:06	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhh zeig einmal deinen kompletten Beweis. Ich vermute einmal stark, dass dieser falsch ist anhand von deinen Äußerungen. Mit der Dimensionsformel aus deiner Vorlesung kann man die "erweiterte" Dimensionsformel auch beweisen, zumindest wenn man $\begin{eqnarray} U_1 \cap (U_2+U_3) = U_1\cap U_2 + U_1\cap U_3 \end{eqnarray}$ benutzen kann.
28.11.2010, 19:24	Tortinho	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab die sozusagen einfach addiert, aber wenn das so ist wie du grade sagst dann ist doch $\begin{eqnarray} (U1 \cap \ U3) + (U2 \cap \ U3) \subseteq (U1 + U2) \cap \ U3 \end{eqnarray}$ wenn ich mir dann mal vektoren nehme $\begin{eqnarray} v1 \in (U1 \cap \ U3) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v2 \in (U2 \cap \ U3) \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} v1 \in U1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v2 \in U2 \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} v1+v2 \in U1+U2 \end{eqnarray}$ außerdem $\begin{eqnarray} v1, v2 \in U3 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} v1+v2 \in U3 \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} v1+v2 \in (U1+U2)\cap U3 \end{eqnarray}$ und so kommt die Ungleichheit zustande?
28.11.2010, 21:05	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Lenken wir dich einmal in die richtige Richtung: Es gilt die Gleichheit!
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28.11.2010, 21:07	Tortinho	Auf diesen Beitrag antworten »
und wieso?
28.11.2010, 21:09	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne $\begin{eqnarray} \dim(U_1+(U_2+U_3)) \end{eqnarray}$ mit der Formel aus der Vorlesung aus.
28.11.2010, 21:17	Tortinho	Auf diesen Beitrag antworten »
hatte das anders rum für die erste teilaufgabe... $\begin{eqnarray} = dim(U1 + U2) + dim U3 - dim((U1 + U2) \cap U3)<br /> <br /> = (dim U1 + dim U2 - dim(U1 \cap U2))+ dim U3 - dim((U1 + U2) \cap U3) \end{eqnarray}$
28.11.2010, 21:22	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt die Gleichheit die ich oben geschrieben habe und du bist fertig.
28.11.2010, 21:53	Tortinho	Auf diesen Beitrag antworten »
ich versteh noch nich ganz was das dann mit der ausgangsgleichung zu tun hat
28.11.2010, 22:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, weiter rechnen und du kommst auf die Formel im Ausgangspost, bloß halt mit = statt kleiner gleich

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