Adjungierte Abildungen

28.11.2010, 19:09	Reneee	Auf diesen Beitrag antworten »
Adjungierte Abildungen Nabend , ich hänge gerade an folgender leicht aussehenden Aufgabe : Sei V ein euklidischer Vektorraum und $\begin{eqnarray} \phi \in End_K(V) \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \phi^ \end{eqnarray}$ die adjungierte Abbildung zu $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \delta_{\phi} = \phi^* \cdot \phi + \phi \cdot \phi^* \end{eqnarray}$ selbstadjungiert ist. Also ich weiß ja, dass bei einem selbstadjungierten Endomorphismus gelten muss, dass $\begin{eqnarray} \phi = \phi^t \end{eqnarray*}$ Die darstellende Matrix muss also gleich ihrer transponierten Matrix sein, insbesondere natürlich symmetrisch. Ich habe mir gedacht, dass der Beweis ohl darauf hinausläuft zu zeigen, dass a) die Multiplikation zweier symmetrisher Matrizen wieder symmetrisch sein muss und b) die Addition dieser Ergebnisse wieder symmetrisch und darüber hinaus sogar gleich ihrer Transponierten ist. Aber bei beiden habe ich nicht wirklich einen Ideenansatz. Irgendwelche Anregungen? Danke im Vorraus!
29.11.2010, 10:16	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Adjungierte Abildungen Zunächst die Begriffe: ----------- Eine adjungierte Matrix $\begin{eqnarray} A^ \end{eqnarray}$ zu einer gegebenen Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist wie folgt definiert: Im Skalarprodukt muss gelten $\begin{eqnarray} \vec x\cdot A\vec y=A^x\cdot y \end{eqnarray}$ Das bedeutet: Wenn man im Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \vec x\cdot A\vec y \end{eqnarray}$ die Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ im 2.Faktor weglässt, dann ist die adjungierte Matrix diejenige, die auf den 1.Faktor wirken muss, damit das Skalarprodukt wieder den gleichen Wert ergibt wie vorher. (Bei reellen Matrizen sind die Adjungierten die Transponierte. Bei komplexen Matrizen sind die Adjungierten die Transponierte und gleichzeitig Konjugierte) ----------- Eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist selbstadjungiert, wenn es im Skalarprodukt egal ist, ob man sie auf den 1.Faktor oder auf den 2.Faktor wirken lässt. Es kommt in beiden Fällen das gleiche Skalarprodukt 'raus, also $\begin{eqnarray} \vec x\cdot A\vec y=A \vec x\cdot \vec y \end{eqnarray}$ ------------ Nun beweisen wir, dass die Matrix $\begin{eqnarray} A^A+AA^* \end{eqnarray}$ selbstadjungiert sein muss. Zu zeigen ist laut obiger Definition: $\begin{eqnarray} (A^A+AA^)\vec x\cdot \vec y=\vec x\cdot (A^A+AA^)\vec y \end{eqnarray}$ Beweis: Der Beweis beruht auf einfacher Anwendung der beiden obigen Definitionen, nachdem man die Summe im Skalarprodukt ausmultipliziert hat $\begin{eqnarray} (A^A+AA^)\vec x\cdot \vec y<br /> =A^A\vec x \cdot \vec y+AA^\vec x \cdot \vec y<br /> =A\vec x \cdot A\vec y+A^\vec x \cdot A^\vec y<br /> =\vec x \cdot A^A\vec y+\vec x \cdot AA^\vec y<br /> =\vec x \cdot (A^A+AA^)\vec y \end{eqnarray*}$ ---------

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