Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium

28.11.2010, 19:56

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium

Meine Frage:
Hallo!

Ich möchte gerne die die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2+(-1)^n}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$ mittel Quotientenkriterium auf Konvergenz überprüfen.

Meine Ideen:
Also ich hab da mal nen bisschen gerechnet und umgeformt, aber irgendwie komme ich nicht weiter, ich hab schon einiges probiert.

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2+(-1)^{n+1}}{2^n} }{\frac{2+(-1)^n}{2^{n-1} } } = \frac{(2+(-1)^{n+1})2^{n-1} }{2^{n}(2+(-1)^n) } = \frac{(2+(-1)^{n+1})2^{n-1} }{2\cdot 2^{n-1}(2+(-1)^n) } = \frac{2+(-1)^{n+1} }{2\cdot(2+(-1)^n) } = \frac{1}{2} \cdot \frac{2+(-1)^{n+1} }{2+(-1)^n } = ?<br /> \end{eqnarray*}$

Vielliecht kann mir einer einen Tipp geben, wie ich weiter umformen kann?!
Danke im Voraus.

28.11.2010, 20:05

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Hallo!

Wenn dann Fallunterscheidung, aber damit kommst du nicht hin.

Besser: schätze das (-1) usw. einfach geeignet ab.

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 20:20

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Danke für deine Antwort smile

smile

Also ich hab es jetzt mal mit Fallunterscheidung probiert:

n gerade:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{2-1}{2+1} = \frac{1}{6} < 1 \Rightarrow konvergierend<br /> \end{eqnarray*}$

n ungerade:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{2} > 1 \Rightarrow divergierend<br /> \end{eqnarray*}$

Beides kann es nich sein, oder? was meinst du genau mit (-1) abschätzen?

Gruß

28.11.2010, 20:32

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Käseschnitzel
Beides kann es nich sein, oder? was meinst du genau mit (-1) abschätzen?

Vergrößere deine Reihe doch mal und ersetze das $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ durch 1. Was ist dann?

Grüße Abakus smile

smile

28.11.2010, 20:43

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
so ganz, weiß ich nicht was du meinst.. sowas hab ich doch eigentlich schon gemacht..
ich hab es jezt nochmal umgeformt:

$\begin{eqnarray*} ... = \frac{1}{2} \cdot \frac{2+(-1)(-1)^n}{2+(-1)^n} \end{eqnarray*}$

Also wenn (-1)^n durch 1 ersetze:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \cdot \frac{2+(-1)1}{2+1} = \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Aber für ungerade n, kann (-1)^n doch auch -1 werden?!

28.11.2010, 22:42

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Was ist mit Folgendem:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2+(-1)^n}{2^{n-1}} \leq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2+1}{2^{n-1}} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

smile

Anzeige

29.11.2010, 10:18

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Danke für deine Antwort smile

smile

Ach dadrauf, bin ich nicht gekommen unglücklich

unglücklich

Mein Übungleiter hat mir grad eben mitgeteilt, dass wir die Aufgabe mit Wurzelkriterium und Quotientenkriterium untersuchen sollen. Einer der Beiden Kriterien würde anscheinend nicht funktionieren. Ich bin jetzt deshalb der Meinung, dass es evlt. nicht mir dem Quotientenkriterium nicht funktioniert, weil ich ja bei der Fallunterscheidung keine eindeutige Aussage treffen kann.
Ich werde es mal mit dem Wurzelkriterium probieren...

Grüße smile

smile

29.11.2010, 11:22

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
So ich hab eine Lösung mit dem Wurzelkiterium gefunden, aber irgendwie bin ich mit unsicher bei manchen umformungen. Vielleicht kann ja mal einer drüber schauen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{2+(-1)^n}{2^{n-1}} } = \frac{\sqrt[n]{2+(-1)^n} }{\sqrt[n]{2^{n-1}} } = .... = \frac{\sqrt[n]{2+(-1)^n} }{\frac{2}{\sqrt[n]{2} } } = \frac{2+(-1)^n}{(\frac{2}{\sqrt[n]{2} } )^{n} } = \frac{2+(-1)^n}{\frac{2^n}{2} } = ... = \frac{4}{2^n} + 2 \cdot (-\frac{1}{2})^n \end{eqnarray*}$

und hier sieht man ja, dass der letzte Term für n gegen unendlich gegen 0 strebt.
Und 0 < 1, also ist die Reihe konvergent nach dem Wurzelkriterium, oder?!

Ist das wirklich so einfach? oder hab ich es mir nur einfach gemacht? smile

smile

29.11.2010, 11:48

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Käseschnitzel
$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt[n]{2+(-1)^n} }{\frac{2}{\sqrt[n]{2} } } = \frac{2+(-1)^n}{(\frac{2}{\sqrt[n]{2} } )^{n} } \end{eqnarray*}$

Welche Art Umformung hast du da gemacht?

29.11.2010, 12:25

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
ich habe den Term hoch n genommen. Ist das falsch?

29.11.2010, 12:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Ach? Man darf das einfach so machen? Dann ist auch $\begin{eqnarray*} \frac 3 2 = \frac{3^2}{2^2} \end{eqnarray*}$ ?

29.11.2010, 12:54

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
ach ja genau Hammer

Hammer

... das darf man natürlich nicht machen!

Wenn die Umformung bis dahin aber richtig ist, wie forme ich denn dann weiter um? Könntest du mir einen Tipp geben? smile

smile

29.11.2010, 13:14

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Nutze $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{2 + (-1)^n} }{\frac{2}{\sqrt[n]{2}}} \leq \frac{\sqrt[n]{2 + 1} }{\frac{2}{\sqrt[n]{2}}} \end{eqnarray*}$

Dann kannst du den Grenzwert bilden.

29.11.2010, 17:51

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
[quote]Original von klarsoweit
Nutze $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{2 + (-1)^n} }{\frac{2}{\sqrt[n]{2}}} \leq \frac{\sqrt[n]{2 + 1} }{\frac{2}{\sqrt[n]{2}}} \end{eqnarray*}$

Alles klar, danke smile

smile

ich hab dann mal weiter umgeformt:

$\begin{eqnarray*} = \frac{\sqrt[n]{6} }{2} \end{eqnarray*}$

und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{6} }{2} = 0 < 1 \Rightarrow konvergierend \end{eqnarray*}$

Damit hab ich ja jetzt eine konvergierende Majorante gefunden und kann daraus behaupten dass die kleinere Folge auch konvergend ist?!
Also habe ich jetzt doch primär, dass Minoranten-Majoranten-Kriterium angewandt, oder? Benutzen sollte ich das Wurzelkriterium? Oder ist das jetzt beides zusammen?

Gruß smile

smile

29.11.2010, 19:06

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Käseschnitzel
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{6} }{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

Zitat:

Original von Käseschnitzel
Also habe ich jetzt doch primär, dass Minoranten-Majoranten-Kriterium angewandt, oder? Benutzen sollte ich das Wurzelkriterium? Oder ist das jetzt beides zusammen?

Beides zusammen. Mit dem Wurzelkriterium zeigst du die Konvergenz der Majorante.

29.11.2010, 19:19

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Ach ja entschuldigung.

Die Majorante konvergiert gegen 1.
Und nach dem Minoranten-Majorantenkriterium konvergiert, dann auch die kleine Folge? So stimmts oder?

29.11.2010, 19:23

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
unglücklich

unglücklich

Die Majorante als solche konvergiert gegen 6. Es geht hier aber um die Frage, was $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{6} }{2} \end{eqnarray*}$ ist.

29.11.2010, 19:30

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Was kapier ich denn jez hier nicht?
Die Majorante ist doch:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{6} }{2} \end{eqnarray*}$

oder?

und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{\sqrt[n]{6} }{2} = 0,5 \end{eqnarray*}$

29.11.2010, 19:38

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
OK, der Begriff Majorante ist doppeldeutig. Ich hatte eher an eine Reihen-Majorante gedacht, so wie sie Abakus in seinem Beitrag erwähnt hat.

In der Tat ist $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[n]{6} }{2} \end{eqnarray*}$ beim Anwenden des Wurzelkriteriums auch eine Majorante für die dort betrachtete Folge.

Wie dem auch sei, der Grenzwert stimmt jetzt.

29.11.2010, 19:44

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Alles klar. smile

smile

So ganz habe ich das trotzdem noch nicht verstanden. Anscheinend, kann ich die Konvergenz der Reihe ja dann auch mit dem Quotientenkriterium überprüfen oder?
Mit wurde extra gesagt, dass es nur mit einem der beiden Kriterien möglich ist, und ich solle überprüfen, welches das ist...ach mensch..

29.11.2010, 22:30

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium

Zitat:

Original von Käseschnitzel
Anscheinend, kann ich die Konvergenz der Reihe ja dann auch mit dem Quotientenkriterium überprüfen oder?

Ohne weiteres geht es nicht. Man kann natürlich die Reihe in zwei (geometrische) Reihen aufteilen. Aber für die braucht man dann auch kein Wurzel- und kein Quotientenkriterium .

30.11.2010, 10:05

Käseschnitzel

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenz einer Reihe mit Quotientenkriterium
Alles klar smile

smile

Danke für deine Mühen smile

smile

Gruß

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »