Potenzreihen multiplizieren

28.11.2010, 21:43	fre4k	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihen multiplizieren Guten Abend! Ich habe folgende Fragestellung: Berechnen sie die Potenzreihen von $\begin{eqnarray} 2e^{2x} \end{eqnarray}$ mit Entwicklungspunkt a=0 , indem sie die Potenzreihe $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ mit sich multiplizieren und die resultierende Potenzreihe differenzieren. Was ist der Konvergenzradius der berechneten Potenzreihe? also die Potenzreihe für $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n \end{eqnarray}$ kann ich die Multiplikation so aufschreiben ? $\begin{eqnarray} 2 (\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n) \end{eqnarray}$ wie kann ich den jetzt das Produkt bilden ? und wie geh ich bei dem darauffolgendem ableiten vor ? kann es sein, dass die Multiplikation $\begin{eqnarray} 2 \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^{2n} \end{eqnarray}$ ergibt ? allein nur durch die Überlegen von $\begin{eqnarray} e^{x} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n \end{eqnarray*}$ bin für jede Hilfe dankbar !!
29.11.2010, 07:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit konvergenten Potenzreihen rechnet man beim Multiplizieren wie mit endlichen Summen auch: distributiv. Es ist also jedes Glied der ersten Klammer mit jedem Glied der zweiten Klammer zu multiplizieren: $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^x \cdot \operatorname{e}^x = \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots \right) \cdot \left( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \ldots \right) \end{eqnarray}$ Um wieder eine Potenzreihe zu bekommen, faßt man diejenigen Glieder zusammen, die beim Multiplizieren zum selben Exponenten führen (Stichwort: Cauchy-Produkt). So kann etwa $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ nur so entstehen: $\begin{eqnarray} x^0 \cdot x^3, x^1 \cdot x^2, x^2 \cdot x^1, x^3 \cdot x^0 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \operatorname{e}^x \cdot \operatorname{e}^x = \ldots + \left( 1 \cdot \frac{1}{3!} + 1 \cdot \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} \cdot 1 + \frac{1}{3!} \cdot 1 \right) x^3 + \ldots = \ldots + \frac{2^3}{3!} x^3 + \ldots \end{eqnarray}$ Und was ich hier konkret für den Exponenten 3 berechnet habe, müßtest du halt allgemein für jedes Glied berechnen. Überlege also, wie die Klammer vor $\begin{eqnarray} x^n \end{eqnarray}$ aussieht, und versuche, sie zu berechnen.

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