Lineare abhängigkeit in K-Vektorraum

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Theta Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare abhängigkeit in K-Vektorraum
Meine Frage:
Hallo allerseits,
Hab ein Problem mit folgendem Satz (und dessen Beweis):
Satz 3.45: Sei V ein K-Vektorraum und , dann gilt:

1. Sei . Dann ist linear abhängig genau dann, wenn .
Wenn U Teilmenge von V ist (d.h. U ist ein Unterraum von V), muss es doch das neut. El. bzgl. der Addition, also den Nullvektor auf jeden Fall beinhalten, oder nicht? In der Beweisführung wird nämlich zu erst bewiesen, dass der Nullvektor in U ist, nur wenn wir davon ausgehen dürften, wäre das nämlich total überflüssig. Für den Fall, dass wir davon nicht ausgehen dürfen: Warum eigentlich?

2. Falls . Dann ist U linear abhängig.
Verstehe ich das richtig, dass wenn eine Teilmenge von U linear abhängig ist, U somit auch linear abhängig sein muss. Wenn ja, dann verstehe ich hier auch den Beweis.

3. Falls zu zwei Vektoren v1 und v2 gehören, für die v1 = v2 gilt, so ist U linear abhängig.
Der Beweis ist hier auch nicht wirklich schwierig

Aber jetzt:
4. Sei und . Dann ist U genau dann linear abhängig,
wenn es ein gibt, so dass eine Linearkombination der Vektoren von \ ist.
Beweis:
Sei und linear abhängig. Dann existieren , von denen mindestens ein Element ungleich 0 ist, so
dass
Sei . Dann gilt :
Somit haben wir


d.h. eine Linearkombination der Vektoren von \ .
Sei nun umgekehrt eine Linearkombination der Vektoren von \ . Dann
fi nden wir Koeffizienten , so dass

Dann gilt
. Da ist, so ist auch und somit ist U linear abhängig.


Meine Ideen:
Nun den 4. verstehe ich nicht so ganz, zumal ich folgendes ohnehin anders umgeformt hätte:
. Ich hätte sowas raus:
daraus würde folgen:
, also steht da:

Danke im Voraus
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn U Teilmenge von V ist (d.h. U ist ein Unterraum von V),


Erläutere genauer was Du meinst. Nicht jede Teilmenge eines Vektorraums ist ein Unterraum.

Zitat:
Verstehe ich das richtig, dass wenn eine Teilmenge von U linear abhängig ist, U somit auch linear abhängig sein muss.


Diese Aussage ist richtig, und lässt sich sehr leicht beweisen. Denk mal drüber nach, dann verstehst Du es.

Zu 4.

Für alle Zahlen a eines Zahlenkörpers K ungleich Null ist .


edit : Habs nochmal überblickt. Soweit ist es in Ordnung, aber für würde ich 1 schreiben Augenzwinkern .

edit 2 : Auf allgemeine Körper umgeschrieben.
 
 
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Worauf ich hinaus möchte ist, dass ich bei der 4 auf ein anderes Ergebnis komme als meine Profin, deswegen verstehe ich die 4 nicht
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

oben das bei den Fragen (bei der 4) ist der Beweis von der Profin
unten bei meinen Ideen ist mein eigener Beweis. Kommt aber irgendwie nicht auf das selbe hinaus.
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke habs grad gesehen
so machts natürlich sinn
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

kurze Frage noch
reicht es wenn ich die 1 so beweise:
für a El. K und a ungleich 0
v = a * v = O.
Umgekehrt, falls v = O, dann gilt 1 * v = O, d.h.
U ={v} ist linear abhängig
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas dürftig aufgeschrieben. Besser :

Sei U = {v} linear abhängig, dann gibt es ein a aus K ungleich 0 mit , damit muss v = 0 sein. (Nullteilerfreiheit des Körpers)

Die Rückrichtung ist in Ordnung.
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Dank dir
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mir mal ein Beispiel für die 4 geben, damit man sich das mal besser vorstellen kann?
Dank dir für deine Hilfe
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Nach einiger Überlegung hab ich mir folgendes Beispiel einfallen lassen:
Sei und V=R^3. Und sei . Sei außerdem . Nun dass U linear abhängig ist, können wir ganz leicht zeigen:
. Da U linear abhängig ist, lässt sich dies so umformen, dass wir auf kommen.
Übrigens habe ich als gewählt, daher ist mein auch .
Laut Beweis der Profin müssten wir noch die mit ins Spiel bringen, nur wozu? Dann würde stehen . Nur hat sich so nichts geändert. Hätte sie es nicht einfach weglassen können, oder ändert sich dadurch im Allgemeinen schon was, nur in meinem Beispiel eben nicht?
Danke schonmal
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Laut Beweis der Profin müssten wir noch die a_{i}^{-1} mit ins Spiel bringen


Der Grund warum die im Beweis verwendet werden ist, damit das entsprechende den Vorfaktor 1 hat (da es ja als Linearkombination dargestellt wird). Wenn Du natürlich eine Linearkombination mit dem Vorfaktor 1 an der entsprechenden Stelle verwendest, passiert natürlich nichts. Setze doch mal und schau dir dann an, was passiert (Du musst natürlich die anderen zwei a's dann auch anpassen)

Wenn Du im reellen rechnest, dann wirst Du an der entsprechenden Stelle einfach durch den Faktor dividieren. Und das dividieren ist nichts Anderes als multiplizieren mit dem inversen Element.
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Da hat sich aber irgendwie nix geändert auch bei a3=2
Die anderen a´s sind auch angepasst aber trotzdem nix geändert
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Aber muss auch so sein, dass sich nichts ändert (auch bei a3=2), da es ja lin. abhängig ist, oder nicht? Es sind nur beide Seiten doppelt so groß wie ohne vorstehenden Faktor.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »





=>



=>

Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt ja
Man könnte aber auch schreiben:
daraus folgt nämlich daraus folgt: . Daraus folgt wiederum . Und wir haben nicht einmal verwendet. Deswegen frage ich mich warum sie überhaupt verwendet. Manchmal glaube ich, dass die das extra machen, um verwirrung zu stiften.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich haben wir verwendet. Schau doch mal genau hin. Du wirst nicht drumrum kommen das Inverse von a_i zu verwenden wenn Du als Vorfaktor eine 1 haben willst.
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir doch meine Beweisführung an wir brauchten das einfach nicht mal. Ich habe es bewiesen ohne das inverse von ai benutzt zu haben. Ich meinte zum Schluß verwendet man es. Das Stimmt, aber die hat am Anfang schon gemacht und das hat mich gestört, aber wenn meine Beweisführung oben stimmt, habe ich es verstanden.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht doch in der Formel drin, oder siehst Du es nicht ? ...
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte zum Schluß verwendet man es. Das Stimmt, aber die hat ganz am Anfang schon die ganze Gleichung damit multipl. und das hat mich gestört, aber wenn meine Beweisführung oben stimmt, habe ich es verstanden.
Sie stimmt doch oder?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Beweis ist fast der gleiche wie der der Professorin. Der einzige Unterschied ist nur wann mit dem Inversen multipliziert wird.
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Nur das man Verwirrung stiftet wenn man am Anfang macht, aber daran werde ich mich wohl gewöhnen müssen, Aber ich danke dir sehr für deine Hilfe
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fand das nicht mal ansatzweise verwirrend. Schlussendlich ist es exakt der gleiche Schritt den Du gemacht hast, nur ne Gleichung vorher.
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Ne Frage noch:
Sei nun umgekehrt eine Linearkombination der Vektoren von \ . Dann
fi nden wir Koeffizienten , so dass

Dann gilt
. Da ist, so ist auch und somit ist U linear abhängig.
Da es ja ne Summe von j=1 bis n geht und Smme O ergibt, muss nicht n=1 gelten? Und wenn wir von ausgehen muss doch sein oder nicht?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich bin mir nicht sicher was Du meinst. Aber Du kannst beliebig große n haben, je nach dem, wieviel Vektoren du betrachtest.
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Da es ja ne Summe von j=1 bis n geht und Smme O ergibt, muss nicht n=1 gelten? Und wenn wir von ausgehen muss doch sein oder nicht? DAS ist ja die Rückrichtung des beweises, also muss doch n=1 sein, wenn gilt: und die Summe von j=1 bis n geht (wobei ) Quasi -1*uj+0+1*ul=0
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Da es ja ne Summe von j=1 bis n geht und Smme O ergibt, muss nicht n=1 gelten?


Nein, wie kommst Du darauf?
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Quasi . Anders gehts doch nicht. Vorausgesetzung:
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube Du hast Allgemein ein Problem mit den Begriffen und dem Beweisen. Das n in der Summe ist die Anzahl der Vektoren in der Teilmenge. Den Inhalt deines letzten Beitrages vermag ich nicht zu deuten. Was meinst Du? Versuche dich mal präzise auszudrücken.
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Ach die Summe beginnt ja bei j=1 und endet bei n. Also muss aber n=3 sein, da die Summe doch anders nicht 0 sein kann. Quasi besteht die Summe aus den drei Summanden .
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Bist Du gerade bei der Rückrichtung des Beweises, oder willst Du dein Beispiel auf die Rückrichtung anwenden?
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Ne bin bei der Rückrichtung (hat nix mit meinem eigenen Beispiel zu tun).
die Summe beginnt ja bei j=1 und endet bei n. Also muss aber n=3 sein, da die Summe doch anders nicht 0 sein kann. Quasi besteht die Summe aus den drei Summanden . Vorausgesetzung:
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wissen wir nur, dass wir eine Teilmenge U eines Vektorraumes V haben, die aus n Vektoren besteht. Bei der Rückrichtung nehmen wir an, dass

als Linearkombination aus Vektoren aus darstellbar ist. Sprich, u_i ist die Summe von n-1 Vektoren die jeweils einen Faktor haben. Das kann man auch so schreiben :



(das heisst, den Summanden i lassen wir raus)

n ist eine natürliche Zahl. Mehr wissen wir nicht. Und ob n = 3 oder n = 5 ist, hängt dann von der konkreten Anwendung ab. Für den Beweis des Aussage ist das aber unerheblich.

Jedenfalls können wir obige Ungleichung natürlich Umformen zu



und das fassen wir zusammen zu (in dem wir den Summanden i jetzt zulassen)



mit
Theta Auf diesen Beitrag antworten »

Habs verstanden. Danke sehr
Hast aber nen kleinen Fehler gemacht: , so muss es sein
Hast es doch gesehen Freude
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