abschätzung beweisen

29.11.2010, 11:10	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
abschätzung beweisen Ich komme bei folgender aufgabe nicht weiter: Ich soll zeigen ,dassfür beliebige rationale Zah a_1,......,a_n,b_1,...,b_n folgende Abschätzung gilt: $\begin{eqnarray} \left(\sum\limits_{i=1}^n a_{i}b_{i} \right)^2 \leq \left(\sum\limits_{i=1}^n a_{i}^2 \right)\left(\sum\limits_{i=1}^n b_{i}^2 \right) \end{eqnarray}$ .....INduktion??
29.11.2010, 11:43	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion ist eine Möglichkeit das zu zeigen.
29.11.2010, 20:04	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte noch mal abchecken ob ich hier wirklich die vollständige Induktion anwenden darf.....sie ist doch eigentlich für natürliche zahlen vorgesehen und a_1....sind aber rationale Zahlen??
29.11.2010, 20:09	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich das anwenden weil n evtl. Element der Natürlichen Zahlen bzgl. der Indexmenge ist?
29.11.2010, 20:38	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist doch wirklich nur eine kleine Frage....? ein ja oder Nein tut es ....bei einem Ja ist alles klar und bei einem Neine würde ich mir Neue Gedanken machen also ....please
29.11.2010, 20:43	Franziska	Auf diesen Beitrag antworten »
Induziere doch über i.
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29.11.2010, 20:46	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja was heißt über I das wäre ja dann über n....der Index....die Frage ist ob man das darf....obwohl die zahl rational ist..trotzdem thx
29.11.2010, 20:49	Franziska	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, meinte auch n, sorry. n ist eine natürliche zahl, ansonsten könntest du die Summe nicht bilden. $\begin{eqnarray} a_1, a_2, ..., b_1, b_2, ... \end{eqnarray}$ sind bel. rationale Zahlen. da solltest du unterscheiden.
29.11.2010, 20:50	pivotvariable	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das habe ich mir ja auch gedacht......von daher mache ich es mal so...thx
29.11.2010, 20:53	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein "üblicher" Beweis dieser Ungleichung geht ganz ohne Induktion, und zwar über die quadratische Funktion $\begin{eqnarray} f(x) = \sum_{i=1}^n (a_ix-b_i)^2 \end{eqnarray}$ , die ja gemäß dieser Definition nur nichtnegative Werte annehmen kann, auch am Scheitelpunkt. Multipliziert man aus, dann erhält man $\begin{eqnarray} f(x) = Ax^2-2Cx+B \quad\textrm{mit}\; A=\sum\limits_{i=1}^n a_i^2,\; B=\sum\limits_{i=1}^n b_i^2,\;C=\sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \end{eqnarray}$ , damit auch die Verbindung zur Aufgabe deutlich wird.
29.11.2010, 20:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vollständigkeit halber verweise ich noch auf die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Dies hier ist der Speziallfall im $\begin{eqnarray} \mathbb Q^n \end{eqnarray}$ mit kanonischem Skalarprodukt.

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