Erwartungswert über vollst. Induktion

29.11.2010, 12:26

Shortstop

Erwartungswert über vollst. Induktion

Hi zusammen!

Ich muss folgenden Beweis erbringen:

Seien $\begin{eqnarray*} X_1,...,X_n i.i.d. \end{eqnarray*}$ mit positiven Werten. Man zeige:

$\begin{eqnarray*} E (\frac{X_1}{X_1+...+X_n}) = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Ich denke das Mittel der Wahl ist vollst. Induktion.

IA: klar.

IV: klar.

IS: An dieser Stelle krieg ich es partout nicht hin eine Umformung zu machen, die mit weiterhilft.

Mit

$\begin{eqnarray*} E (\frac{X_1}{X_1+...+X_{n+1}}) = E (\frac{X_1}{X_1+...+X_n} \cdot \frac{X_1+...+X_n}{X_1+...+X_{n+1}}) = E (\frac{X_1}{X_1+...+X_n}) \cdot E ( \frac{X_1+...+X_n}{X_1+...+X_{n+1}}) = \frac{1}{n} \cdot E ( \frac{X_1+...+X_n}{X_1+...+X_{n+1}}) = \frac{1}{n} \cdot E (1 - \frac{X_{n+1}}{X_1+...+X_{n+1}}) \cdots \end{eqnarray*}$

drehe ich mich nur im Kreis...

Bin ich total auf dem falschen Dampfer oder sehe ich es einfach nur nicht?

29.11.2010, 12:36

kiste

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RE: Erwartungswert über vollst. Induktion
Linearität und $\begin{eqnarray*} E (\frac{X_1}{X_1+...+X_{n+1}}) = E (\frac{X_{n+1}}{X_1+...+X_{n+1}}) \end{eqnarray*}$ und du bist fertig wenn ich das richtig sehe.

29.11.2010, 12:43

Shortstop

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RE: Erwartungswert über vollst. Induktion

Zitat:

Original von kiste
Linearität und $\begin{eqnarray*} E (\frac{X_1}{X_1+...+X_{n+1}}) = E (\frac{X_{n+1}}{X_1+...+X_{n+1}}) \end{eqnarray*}$ und du bist fertig wenn ich das richtig sehe.

Ok, sowas hatte ich auch schonmal überlegt, aber dies scheitert daran, dass ich diese Gleichheit nicht zeigen kann...

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