Abbildung Injektiv/Surjektiv |
| 29.11.2010, 13:45 | LAG Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Abbildung Injektiv/Surjektiv Hallo, ich habe folgende Aufgabe und finde nicht so recht einen Zugang ... Aufgabe: Seien X und Y nicht leere Mengen und f:X->Y eine injektive Abbildung. Dann gibt es eine surjektive Abbildung g:Y->X. Meine Ideen: Ich weiß, dass wenn es eine injektive Abbildung f:X->Y gibt, auch eine Abb. g: Y->X mit g°f=idx existiert.... und andersrum falls f surjektiv ist, ex. eine Abb. h:Y->X mit f°h= idy ich denke das muss ich dazu irgendwie verwenden, jedoch fällt mir nichts ein, wie ich das verwenden kann bzw die aufgabe zeige. Bitte um etwas Hilfe... Danke |
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| 29.11.2010, 13:48 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Definiere die Funktion g erstmal nicht auf Y, sondern nur auf dem Bild der Funktion f, also auf f(X). Wie kann man da die Funktion sinnvoll definieren? |
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| 29.11.2010, 13:52 | LAG Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
na dann wäre die Funktion bijektiv und g die Inverse Abbildung oder ? |
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| 29.11.2010, 13:56 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay, jetzt hast du also bereits eine surjektive Funktion von f(X) nach X. Erweitere diese beliebig auf Y. |
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| 29.11.2010, 14:01 | LAG Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
genau den schritt versteh ich nicht ganz, heißt das dies nur gilt, wenn Y=f(x) ist? oder wie muss das Y sein damit diese Eigenschaft gilt? |
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| 29.11.2010, 14:09 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Mach dir doch einmal ein kleines Beispiel, z.B. mit X={1,2} und Y={1,2,3} und f = id. Wie würdest du dort g wählen? |
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| 29.11.2010, 14:13 | LAG Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
na zb in dem ich (f1)=1, f(2)=2 und f(3)=1 wähle. dann hätte ich ja eine surjektive abbildung g : Y->X für f:X-> Y weiß aber halt nich wie ich das allgemein dann machen kann edit: hat das ganze irgendwie was mit Inklusionsabbildungen zutun? also das ich jede Abb. in eine injektive und surjektive abb als Verkettung schreiben kann? |
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| 29.11.2010, 14:35 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du brauchst hier keine großartigen Sätze. Du musst jetzt nur das was du gerade an einem Beispiel gemacht hast verallgemeinern. Die Bilder auf f(X) waren bereits festgelegt, eben als Umkehrabbildung. Jetzt geht es nur noch um die Menge Y\f(X). In unserem Beispiel war das {3}. Was hast du mit den Bildern für diese Menge gemacht? |
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| 29.11.2010, 14:37 | LAG Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
na die hab ich wieder einem element der Menge X zugeordnet einfach...^^ auf grund der Vor. das die Abb surjektiv sein soll kann ich das ja machen. |
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| 29.11.2010, 14:53 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Na dann mach das doch allgemein. |
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| 29.11.2010, 14:55 | LAG Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
ja hehe das sagst du so ... wie formulier ich denn allgemein das ich den Y\f(X) immer ein X wieder zuordne... |
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| 29.11.2010, 14:56 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sei x in X beliebig aber fest, setze g(y) = x für y in Y\f(X). Fertig, war doch nicht schwer? 
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| 29.11.2010, 14:57 | LAG Mathe | Auf diesen Beitrag antworten » |
dank dir ganz dolle .... |
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