Orthonormalbasis

29.11.2010, 14:27	phtg14	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis Meine Frage: Hallo zusammen Ich muss folgende Aufgabe lösen Es sei E = {(r,s,t)} Element R^3 : 2r + s - 2t} a) Bestimmen Sie eine ONB B = $\begin{eqnarray} \vec{e_{1} }, \vec{e_{2} } \end{eqnarray}$ b) Ermitteln Sie die orthogonale Projektion von $\begin{eqnarray} \vec{x_{1}} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf E. Welchen Abstand hat $\begin{eqnarray} \vec{x_{1}} \end{eqnarray}$ von E? Meine Ideen: Mein Problem liegt bei der Bestimmung der ONB B = $\begin{eqnarray} \vec{e_{1} }, \vec{e_{2} } \end{eqnarray}$ . Bei einer ONB müssen die Vektoren paarweise orthogonal zueinander sein und danach normiert werden. Ich habe aber nur den Richtungsvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , welcher mir von der Basis gegeben wird. Wenn ich für r,s $\begin{eqnarray} \vec{e_{1} }, \vec{e_{2} } \end{eqnarray}$ , also (1 0 0) und (0 1 0) einsetze erhalte ich für t = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0.5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Diese Vektoren sind jedoch nicht paarweise orthogonal... Wie komme ich nun weiter? Resp. wo liegt mein Denkfehler?
30.11.2010, 15:36	phtg14	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir da wirklich niemand helfen? Schade
30.11.2010, 15:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nicht leicht zu helfen, da schon E sehr seltsam "definiert" ist. Wenn E eine Ebene werden möchte, was aufgrund einer 2-dimensionalen ONB zu vermuten ist, könnte die definierende Gleichung 2r+s-2t=0 heissen. Und damit sollte sich dann doch etwas Sinnvolles berechnen lassen ...
30.11.2010, 16:04	phtg14	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun die Frage ist auch, ob ich e1 und e2 einfach in die Gleichung einsetzten kann und dadurch den dritten Vektor der Gleichung erhalte? Danach ist jedoch die Frage, ob es auch eine ONB ist, d.h. alle Vektoren orthogonal zueinander stehen... (--> siehe dazu auch meine Antwort und das erhaltene t).

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