maximum

17.11.2006, 16:53

kingskid

maximum

Hi!
ich suche das maximum:

$\begin{eqnarray*} max\{|x_1|+|x_2|; |sin(x_1)*cos(x_1)|+|1/2 cos(x_2)|\} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_1\leq1/4, |x_2| \leq1/4 \end{eqnarray*}$ .

also x_1+x_2 kann ja maximal 1/2 werden, aber bei dem zweiten bin ich mir nicht sicher.
mit der abschätzung |sin(x)|<= |x|, kann man da sagen dass das maximal 1/4*1/4+1/2*1/4 = 3/16 werden kann?
oder wie muss ich das korrket lösen?

viele grüße
kingskid

17.11.2006, 21:44

Abakus

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RE: maximum

Zitat:

Original von kingskid
Hi!
ich suche das maximum:

$\begin{eqnarray*} max\{|x_1|+|x_2|; |sin(x_1)*cos(x_1)|+|1/2 cos(x_2)|\} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} x_1\leq1/4, |x_2| \leq1/4 \end{eqnarray*}$ .

also x_1+x_2 kann ja maximal 1/2 werden, aber bei dem zweiten bin ich mir nicht sicher.

Wenn du $\begin{eqnarray*} x_2 = 0 \end{eqnarray*}$ einsetzt, siehst du, dass der zweite Teil mindestens so groß wie der erste werden kann: also brauchst du nur den zweiten Term betrachten.

Der zweite Term ist in 2 Teile separierbar, die unabhängig voneinander optimiert werden können. Der erste Teil hängt ja nur von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ ab, der zweite nur von $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

17.11.2006, 23:12

kingskid

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danke für deine hinweise!

wenn ich x_2 = 0 setze, dann bekomm ich doch:

$\begin{eqnarray*} max\{|x_1|; |sin(x_1)*cos(x_1)|+|1/2 |\} \end{eqnarray*}$

d.h. der erste teil kann 1/4 werden, und der zweite 1+1/2=3/2 ?

weil sin und cos können ja nicht größer werden als 1 ?

also kann sin(x_1)*cos(x_1) maximal 1 werden und der andere summan maximal 1/2. aber irgendwie sollte ich zeigen können, dass das max der menge < 1 ist... wie kann i ch eine bessere abschätzung finden ?

18.11.2006, 00:51

Abakus

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Stop, da habe ich etwas übersehen gehabt: von $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ sind ja nach unten hin unbeschränkte Werte möglich, weil:

Zitat:

...mit $\begin{eqnarray*} x_1\leq1/4, |x_2| \leq1/4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ steht hier ja nicht in Betragstriche, demzufolge gibt es kein Maximum (bzw. es ist Unendlich), weil der erste Term beliebig groß werden kann.

Grüße Abakus smile

18.11.2006, 10:50

kingskid

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sorry, hab bei dem x_1 die betragsstriche nur vergessen, muss auch der betrag hin...

18.11.2006, 12:53

Abakus

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OK, dann wars ja doch richtig. Für $\begin{eqnarray*} \sin x \cdot \cos x \end{eqnarray*}$ kennst du ein Additionstheorem, was hier gut passt.

Grüße Abakus smile

18.11.2006, 17:11

kingskid

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hmm, meinst du so:

$\begin{eqnarray*} |sin(x) \cdot cos(x)| = \frac{1}{2} |sin(2x)| \leq \frac{1}{2} |2x| \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ?

und wie kann ich den zweiten teil richtig abschätzen?

viele grüße

18.11.2006, 21:05

Abakus

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Zitat:

Original von kingskid
und wie kann ich den zweiten teil richtig abschätzen?

Naja, $\begin{eqnarray*} \frac{\cos x_2}{2} \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Da sollte kein Problem sein.

Grüße Abakus smile

18.11.2006, 21:16

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Zitat:

Original von kingskid
$\begin{eqnarray*} |sin(x) \cdot cos(x)| = \frac{1}{2} |sin(2x)| \leq \frac{1}{2} |2x| \leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ?

Die obere Schranke $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist zwar richtig, aber du solltest dir schon im klaren sein, dass die nicht erreicht wird. Tatsächlich kann man aufgrund der Monotonie der Sinusfunktion im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ 0, \frac{1}{2} \right] \end{eqnarray*}$ doch das genaue Maximum angeben:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} |\sin(2x)| \leq \frac{1}{2} \sin\left( \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|\leq \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

19.11.2006, 12:17

kingskid

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vielen dank für eure hilfe!

wie kann man eigentlich zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |sin(x)| \leq |x| \end{eqnarray*}$ gilt?

viele grüße
kingskid

19.11.2006, 17:18

Frooke

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Benutze die Taylorreihe um abzuschätzen...

19.11.2006, 17:54

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Zitat:

Original von kingskid
wie kann man eigentlich zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} |sin(x)| \leq |x| \end{eqnarray*}$ gilt?

Für $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ ist das sowieso klar. Und für $\begin{eqnarray*} 0\leq x<1 \end{eqnarray*}$ kann man das direkt geometrisch mit der Sinusdefinition begründen!

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