Beschränktheit

29.11.2010, 15:32	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit Es sei $\begin{eqnarray} f : D \to R \end{eqnarray}$ eine Funktion, welche stetig im Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \in D \end{eqnarray}$ ist. Zeigen Sie: Es existiert ein $\begin{eqnarray} \mu > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C > 0 \end{eqnarray}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray} x \in D \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|x -x_0\| < \mu \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \|f(x)\| < C. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Die Funktion ist stetig Es gilt also $\begin{eqnarray} \|x -x_0\| < \delta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Ich setze erstmal also $\begin{eqnarray} \mu=\delta \end{eqnarray}$ (?) Wenn ich dann $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| < \epsilon \end{eqnarray}$ so umforme das ich da $\begin{eqnarray} \|f(x)\|<... \end{eqnarray}$ steht müsste ich doch ein C finden?
29.11.2010, 15:46	LoBi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es mal so probiert : $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| \geq \|f(x)\|-\|f(x_0)\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|f(x)\|-\|f(x_0)\| < \epsilon \Rightarrow \|f(x)\| < \epsilon + \|f(x_0)\| =C \end{eqnarray}$

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