Bijektivität beweisen

29.11.2010, 15:44

theJoker

Bijektivität beweisen

heyho an alle.

ich bin studienanfänger und gerade dabei zu behirnen wie man surjektivität, injektivität und bijektivität beweisen kann.

Beispiel: $\begin{eqnarray*} x^{3} + 9 \end{eqnarray*}$
wie kann ich da beweisen, dass das bijektiv (bzw. surjektiv und injektiv) ist?

kann mir das jemand auf deutsch erklären? smile

im skript sind überhaupt keine konkreten beispiele !!

wäre lieb, danke !!

- lg joker

29.11.2010, 15:46

Mazze

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Als erstes schreibt man mathematisch korrekt hin, was Surjektiv und Injektiv bedeuten. Danach schreibst Du hin, was das für deine Funktion bedeutet und dann sieht man meist schon, wohin es geht.

29.11.2010, 15:52

theJoker

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naja.
2 Mengen A, B:

injektiv heißt : f(a) = f(b) => a=b
also wenn es zu jedem b element B höchstens ein a element A gibt

surjektiv heißt :
alle werte im bildbereich werden als funktionswert angenommen.
sprich zu jedem b element B gibt es mindestens ein a element A.

aber zB. bei der injektivität kann ich mir nicht vorstellen, dass es das als "beweis" gewesen sein soll, wenn ich

f(x) = f(y) schreib
danach x^3 +9 = y^3 +9 und dann auf x =y komme.
irgendwie erscheint mir das so...äh...nichtssagend traurig

29.11.2010, 15:58

Mazze

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Zitat:

irgendwie erscheint mir das so...äh...nichtssagend

Solange du mathematisch korrekt umformst, ist genau das die Art und Weise wie man zeigt, dass eine Funktion injektiv ist. Du nimmst an dass f(x) = f(y) gilt, und folgerst dann, aufgrund der Eigenschaften der Funktion f, dass dann x = y gilt. Genau so macht mans. Ein Beweis muss nicht kompliziert sein, er muss nur korrekt sein.

Was die Surjektivität angeht, sei $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , dann musst Du ein x finden, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ gilt. Also für deine Funktion :

$\begin{eqnarray*} x^3 + 9 = y \end{eqnarray*}$

29.11.2010, 16:28

theJoker

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ich weiß das ist ne blöde frage jetzt, aber... wenn ich den ausdruck dann stehen habe:

$\begin{eqnarray*} x^3 +9 = y \end{eqnarray*}$

....soll ich das dann nach x umformen? und wenn ja, was fange ich dann mit dem ergebnis an?

ich weiß, ich bin anstrengend...aber ich wills wirklich verstehen Erstaunt2

29.11.2010, 22:07

Mazze

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Zitat:

ich weiß, ich bin anstrengend...aber ich wills wirklich verstehen

Bisher nicht. Zudem gehts immer noch anstrengender. Ich zeig dir mal Beispielhaft das die Funktion

$\begin{eqnarray*} f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = ax \end{eqnarray*}$

für a != 0 Surjektiv ist. Sei also $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , setze $\begin{eqnarray*} x = \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ , dann ist

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(\frac{y}{a}) = a \frac{y}{a} = y \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ für alle y definiert ist, ist f damit Surjektiv. Wie bin ich wohl auf meinx gekommen?

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