Quotientenraum von V nach U

29.11.2010, 15:50

Theta

Quotientenraum von V nach U

Meine Frage:
Hallo allerseits,
Folgendes Problem: Hab hier ne Aufgabe, bei dem ich nicht alle Hintergrundinformationen weiß, kam bis jezz nicht in der Vorlesung, steht im Moment auch nicht im Skript (wird immer Freitags aktualisiert). Nun:
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und U ein Unterraum von V . Wir
de finieren:
$\begin{eqnarray*} x + U := \left\{ x + u I u\in U\right\} \end{eqnarray*}$ (Nebenklassen von U)
$\begin{eqnarray*} V/U := \left\{ x + U I x\in V\right\} \end{eqnarray*}$
Jedes $\begin{eqnarray*} r\in x+U \end{eqnarray*}$ ist ein Repräsentant von $\begin{eqnarray*} x+U \end{eqnarray*}$ , da dann natürlich gilt $\begin{eqnarray*} r+U = x+U \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ werden Verknüpfungen definiert durch:
$\begin{eqnarray*} (x + U)+(y + U):=(x + y)+U \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \alpha\in K : \alpha *(x + U):=\alpha x + U \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, dass V/U wieder ein Vektorraum über K ist. V/U heißt Quotientenraum von V nach U.
Achtung: Man muss auch zeigen, dass die Verknüpfungen in V/U wohlde niert
sind, d.h. es ist zu zeigen, dass die Operationen in V/U nicht von den gewählten Repräsentanten abhängen.

Meine Ideen:
Nun als aller Erstes würde ich gerne wissen:
1. Was sind Nebenklassen (Beispiel)
2. Was sind Repräsentanten (Beispiel)
3. Was sind Quotientenräume (Beispiel)
Danke im Voraus

29.11.2010, 19:20

Theta

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RE: Quotientenraum von V nach U
Erstaunt2

29.11.2010, 19:31

jester.

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Hallo,

im Prinzip handelt es sich bei diesen Nebenklassen einfach um Äquivalenzklassen bzgl. der Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray*} v\sim w ~ \Leftrightarrow v-w \in U \end{eqnarray*}$ , dabei schreibt man statt $\begin{eqnarray*} v \sim w \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} v+U=w+U \end{eqnarray*}$ .

Ein Repräsentant ist dann einfach ein Vertreter aus der Restklasse, der Quotientenraum die Menge aller Äquivalenzklassen.

Das Forum kann dir aber leider nicht die Vorlesung oder das Skript ersetzen. Trotzdem haben sich über die Jahre doch einige Beiträge zu Quotientenräumen angesammelt - deine Aufagbe ist bestimmt auch dabei. Gib den Begriff einfach mal in die Suche ein. Tipp: Gleichbedeutende Begriffe, die dir noch mehr Ergebnisse liefern könnten sind Faktorraum oder auch Quotientenvektorraum.

Auch Wikipedia ist eine gute Anlaufstelle, wenn du Begriffe nicht kennst: http://de.wikipedia.org/wiki/Quotientenvektorraum

PS: Drängeln, auch in Form von Smileys, ist nicht gut - alle Leute, die hier helfen, tun das freiwillig.

30.11.2010, 12:31

Theta

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Hallo allerseits ich bins wieder,
Nun ich hab heute von der Profin erfahren, dass wir die Aufgaben lösen können ohne wissen zu müssen, was diese Begriffe zu bedeuten haben (hatte mich gestern trotzdem etwas schlauer gemacht und weiß ansatzweise was sie bedeuten). Nun in diesem Fall denke ich müssen wir zeigen, dass die Axiome eines Vektorraums erfüllt sind. Außerdem muss die Gruppe mit der Addition als Verknüpfung eine Abelsche Gruppe sein. So weit so richtig?
Den Beweis liefere ich hier nach, bzw . bin ich grad am machen. Zur zweiten Frage habe ich noch keine Idee aber da komme ich noch zu.
Danke schonmal

$\begin{eqnarray*} (x + U)+(y + U):=(x + y)+U \end{eqnarray*}$ Mit dieser Art der Addition muss es sich bei (V/U,+) um eine abelsche Grppe handeln.
$\begin{eqnarray*} \alpha\in K : \alpha *(x + U):=\alpha x + U \end{eqnarray*}$ Hiermit müssen alle Axiome eines Vektorraums zu erfüllen sein. Ist V/U eigentlich ein Unterraum von V. Wenn ja könnten wir mit den Unterraumkriterien beweisen, dass V/U auch ein Vektorraum über K ist.

$\begin{eqnarray*} (x + U)+(y + U):=(x + y)+U \end{eqnarray*}$ Mit dieser Art der Addition muss es sich bei (V/U,+) um eine abelsche Grppe handeln. D.h.:
1. Assoziativität: Sei $\begin{eqnarray*} x,y,z\in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
((x + U)+(y + U))+(z+U)=(x+y+z)+U=(x+U)+((y+U)+(z+U))
2. Abgeschlossenheit d. Addition: Da x,y $\begin{eqnarray*} x,y\in V \end{eqnarray*}$ ist, so muss auch
(x + U)+(O + U)=(x+y)+U in V sein
3. Neutrales El.: Sei O (Nullvektor) ein El. in V, dann gilt: (x + U)+(O + U)=(x+O)+U=x+U
4. Inverses El.: Sei y=-x in V, dann gilt: (x+U)+(y+U)=(x+U)+(-x+U)=(x-x)+U=O+U
5. Kommutätivität: (x+U)+(y+U)=(x+y)+U=(y+x)+U=(y+U)+(x+U)

Ist das soweit richtig oder musste ich noch die Nebenklassen mit ins Spiel bringen?

Man muss auch zeigen, dass die Verknüpfungen in V/U wohlde niert
sind, d.h. es ist zu zeigen, dass die Operationen in V/U nicht von den gewählten Repräsentanten abhängen.
Ich glaub hier kommt die Nebenklasse ins Spiel, oder?

Edit (jester.): 7 Beiträge zusammengefasst

01.12.2010, 07:13

jester.

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Zitat:

Original von Theta
1. Assoziativität: Sei $\begin{eqnarray*} x,y,z\in V \end{eqnarray*}$ , dann gilt:
((x + U)+(y + U))+(z+U)=(x+y+z)+U=(x+U)+((y+U)+(z+U))
2. Abgeschlossenheit d. Addition: Da x,y $\begin{eqnarray*} x,y\in V \end{eqnarray*}$ ist, so muss auch
(x + U)+(O + U)=(x+y)+U in V sein

Bei der 1 könnte man gut noch einen Zwischenschritt einbauen, damit alles nachvollziehbar bleibt:
$\begin{eqnarray*} ( (x+U) + (y+U) ) + (z+U) = ( (x+y)+U) + (z+U) = ((x+y)+z) +U = (x + (y+z) ) + U = ... \end{eqnarray*}$ und dann nimmt das ganze wieder auseinander, bis das gewünschte dasteht.

Ich nehme mal an bei 2 hast du dich nur vertippt, denn $\begin{eqnarray*} 0+U \end{eqnarray*}$ hat dort nichts zu suchen.

Zitat:

Man muss auch zeigen, dass die Verknüpfungen in V/U wohlde niert
sind, d.h. es ist zu zeigen, dass die Operationen in V/U nicht von den gewählten Repräsentanten abhängen.
Ich glaub hier kommt die Nebenklasse ins Spiel, oder?

Ja, dass es notwendig ist, dies zu zeigenl iegt daran, dass wir nun mit Vertretern rechnen; jedes Element einer Äquivalenz-/Nebenklasse ist in diesem Sinne gleichberechtigt.

Du musst also folgende zwei Dinge überprüfen: Seien $\begin{eqnarray*} x,x',y,y' \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x+U=x'+U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U=y'+U \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (x+y)+U=(x'+y')+U \end{eqnarray*}$ .
Sei zudem $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ , zeige dass $\begin{eqnarray*} kx + U = kx*+U \end{eqnarray*}$ .

Diese beiden Aufgaben kannst du mit der Definition der "Gleichheit" in $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ lösen, mache dir also noch mal klar, was $\begin{eqnarray*} x+U=x'+U \end{eqnarray*}$ bedeutet.

Zu einem weiteren Punkt, den du angesprochen hast: $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ ist kein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Ein Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ besteht aus Vektoren, die auch in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegen. Hier arbeiten wir jedoch mit Äquivalenzklassen, von denen keine einzige in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ selbst drinliegt.

Zum Schluss noch folgender Hinweis: Doppelposts sind im Idealfall zu vermeiden, vergleiche auch http://www.matheboard.de/usercp.php , 7-fach-Posts sind dementsprechend natürlich auch nicht so klasse - vor allem, wenn diese Posts doch inhaltlich sehr ähnlich sind. Im Fall dass du etwas nachreichen möchtest, kannst du mal die Edit-Funktion ausprobieren.

01.12.2010, 11:44

Theta

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Auf jeden Fall aber müssten wir hiermit ans Ziel kommen:
$\begin{eqnarray*} \alpha\in K : \alpha *(x + U):=\alpha x + U \end{eqnarray*}$ Hiermit müssen alle Axiome eines Vektorraums zu erfüllen sein. Also muss gelten:
1) $\begin{eqnarray*} 1*(x+U)=x+U \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in V/U \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 1\in K \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} (a+b)*(x+U)=(a*x+U)+(b*x+U) \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} a*((x+y)+U)=(a*x+a*y)+U \end{eqnarray*}$
4) $\begin{eqnarray*} (a*b)*(x+U)=(a*x+U)*(b*x+U)=a*(b*(x+U)) \end{eqnarray*}$
Reicht das so, oder muss ich hier auch die Nebenklassen irgendwie mit einbringen

Du musst also folgende zwei Dinge überprüfen: Seien $\begin{eqnarray*} x,x',y,y' \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x+U=x'+U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U=y'+U \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (x+y)+U=(x'+y')+U \end{eqnarray*}$ .
Sei zudem $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ , zeige dass $\begin{eqnarray*} kx + U = kx*+U \end{eqnarray*}$

So in etwa: aus $\begin{eqnarray*} x+U=x'+U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U=y'+U \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} (x+U)+(y+U)=(x'+U)+(y'+U)\Rightarrow (x+y)+U=(x'+y')+U \end{eqnarray*}$ ?
Sei zudem $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ , zeige dass $\begin{eqnarray*} kx + U = kx*+U \end{eqnarray*}$

01.12.2010, 12:01

Theta

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Du musst also folgende zwei Dinge überprüfen: Seien $\begin{eqnarray*} x,x',y,y' \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x+U=x'+U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U=y'+U \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray*} (x+y)+U=(x'+y')+U \end{eqnarray*}$ .
Sei zudem $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ , zeige dass $\begin{eqnarray*} k*(x+U) =kx + U \end{eqnarray*}$

So in etwa: aus $\begin{eqnarray*} x+U=x'+U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y+U=y'+U \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} (x+U)+(y+U)=(x'+U)+(y'+U)\Rightarrow (x+y)+U=(x'+y')+U \end{eqnarray*}$
Sei zudem $\begin{eqnarray*} k \in K \end{eqnarray*}$ , dann folgt nach Def. $\begin{eqnarray*} k*(x+U) =kx + U \end{eqnarray*}$ ?
Stimmt nicht oder?
Sorry die 15 min. waren abgelaufen. Wie hast du das eigentl. hinbekommen mit dem Zusammenfassen der 7 Beiträge

02.12.2010, 21:04

jester.

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Hallo, habe gerade erst gesehen, dass du nochmal geschrieben hast. Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (x+y)+U=(x'+y')+U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (kx)+U=(kx')+U \end{eqnarray*}$ , musst du die Definition verwenden, die dir sagt, wann zwei Vektoren "gleich" sind, das heißt in der gleichen Äquivalenzklasse modulo U liegen.

Ich zeige es dir mal für die zweite Aussage: Seien also $\begin{eqnarray*} x,x' \in V, ~ k\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x+U = x' +U \end{eqnarray*}$ , was nichts anderes bedeutet als $\begin{eqnarray*} x-x' \in U \end{eqnarray*}$ . Daraus wollen wir folgern, dass $\begin{eqnarray*} kx+U = kx' + U \end{eqnarray*}$ , und dazu schauen wir uns einfach die Differenz an: $\begin{eqnarray*} kx-kx'=k\underbrace{(x-x')}_{\in U} \in U \end{eqnarray*}$ . Also gilt tatsächlich $\begin{eqnarray*} kx+U = kx' + U \end{eqnarray*}$ .

So kannst du jetzt auch zeigen, dass die Addition vertreterunabhängig ist.

Die Dinge, die du unter (1) bis (4) aufgelistet hast, sind Eigenschaften der Skalarmultiplikation bzw. der Verträglichkeit der Skalamultiplikation mit der Vektoraddition.
Dazu kommen dann noch die Punkte 1.,2.,3.,4.,5. in deinem zusammengefassten Beitrag (um Beiträge zusammenfassen zu können, muss man übrigens Moderator im Forum sein). Das sind Eigenschaften der Vektoraddition.
Diese Beweise ergeben sich aber alle aus der Definition der Addition in $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ , sodass es sich dabei im Prinzip immer um Einzeiler handeln sollte.

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