Umgangston! Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d |
29.11.2010, 15:58 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d Welche Beziehung muss zwischen b und c bestehen, damit die ganzrationale Funktion 3. Grades: f(x)= x³+bx²+cx+d a)genau einen Hoch- und einen Tiefpunkt besitzt. b)ganeu einen Sattelpunkt besitzt. c)weder einen Hoch- und einen Tiefpunkt, noch einen Sattelpunkt besitzt. Über dieser Frage sitze ich schon drei Tage ohne irgendein Ergebnis zu haben. Es wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet. Vielen Dank! LG Philia Meine Ideen: Ich dachte mir, dass man vielleicht mit der notwendigen Bedingung ( f´(x)=0) b oder c ausrechnen kann, damit man sieht, in welcher Weise b von c abhängig ist. Ich komme aber auf kein konstantes Ergenbis, immer kommt etwas anderes heraus. |
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29.11.2010, 15:59 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d Aufgabe c ist schier unmöglich wenn du dir den Graphen einer Funktion 3. Grades vorstelltst. Denn selbst wenn alle Koeffizienten wegfallen und nur x^3 übrig bleibt besitzt man man einen Sattelpunkt. Also gibt es bei deiner Funktionsgleichung entweder zwei Extremas(Aufgabe a) oder einen Sattelpunkt. Damit deine kubische Funktion zwei Extremas aufweist brauchst du nur dafür zu sorgen das Doppellössungen(Dreifachlöungen) bei den Nullstellen auftreten oder alle Nullstellen reel sind.Ist dies der Fall dann trifft Aufgabe a zu. Andererseits ist Aufgabe b erfüllt. |
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29.11.2010, 16:05 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d
Wenn alle Koeffizienten "wegfallen", dann ja, es gibt aber durchaus Funktionen 3. Grades die weder Extrempunkte noch Sattelpunkte besitzen. |
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29.11.2010, 16:07 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d Zeig mir eine einzige das reicht, denn diese sind mir nicht bekannt. |
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29.11.2010, 16:10 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur weil dir auf Anhieb keine einfällt, heißt das noch lange nicht, dass es keine gibt. Ich kann dir beliebig viele Funktionen dritten Grades konstruieren, die weder Extrem- noch Sattelpunkte haben, da dir eine einzige reicht, mach doch bitte mal eine Kurvendiskussion für . |
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29.11.2010, 16:15 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beziehung zwischen b und c für f(x)= x³ + bx² + cx +d
und wie muss ich das jetzt konkret rechnen? einfach die Nullstellen ausrechnen und dann ist das was rauskommt das ergebnis? |
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29.11.2010, 16:16 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja da ich wohl etwas vorschnell geurteilt, scheint es tatsächlich zu geben. Toll Iorek kann besser Mathe als ich, ist hier im Matheboard in seinem Kietz der absolute Bringer. Ich übergebe das Thema an Iorek, bin dafür nicht qualifiziert. |
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29.11.2010, 16:19 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
baphomet, ich habe dich anfangs nur auf einen Fehler aufmerksam gemacht ohne eine persönliche Wertung einzubringen. Auf deine unverschämte Antwort hin, dass ich dir doch eine zeigen soll, da diese eh nicht existiert, habe ich dann entsprechend geantwortet. Ich habe mich nirgendwo als "absoluter Bringer" aufgespielt und dich als "nicht genug qualifiziert" bezeichnet, der einzige Sinn meines Beitrags war, deinen Fehler zu berichtigen. Wenn du damit nicht umgehen kannst, ist das dein Problem, weitere Meinungsverschiedenheiten deinerseits mit mir, bitte per PN. Dieser Thread ist dafür gedacht, dass Philia geholfen wird (was du auch gerne weiterführen kannst). |
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29.11.2010, 16:21 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe ich bereits und du bist jetzt hier dran, werde auf deinen nächsten Fehler auch schon lauern und dich dann in der Luft zerreisen. |
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29.11.2010, 16:24 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entweder du willst es nicht verstehen oder du kannst es nicht verstehen...ich habe dich nirgendwo in der Luft zerrisen, ich habe dich lediglich auf einen Fehler aufmerksam gemacht. Aber egal, wenn du das so sehen willst, dann bin ich gerne dein Buhmann. @Philia, was für Bedingungen müssen denn erfüllt sein, damit eine Funktion einen Extrempunkt hat? Stell diese Bedinungen in Abhängigkeit von den Koeffizienten a,b,c,d auf. |
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29.11.2010, 16:34 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ähm naja war das nicht so, dass die erste ableitung der funktion null ergeben muss? und die zweite ableitung für einen hochpunkt kleiner als null und für einen tiefpunkt größer als null sein muss ? oder nicht? |
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29.11.2010, 16:35 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
in abhängigkeit der koeffizienten? O.O ich glaub damit bin ich jetzt überfordert |
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29.11.2010, 16:36 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann bestimme doch jetzt mal die erste Ableitung und berechne in Abhängigkeit von b und c die Nullstellen (Du wirst eine Fallunterscheidung machen müssen). Wie würdest du die Ableitung der Funktion bestimmen? Das funktioniert hier genau so, deine Koeffizienten sind konstante Zahlen. |
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29.11.2010, 16:37 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was ist denn eine fallunterscheidung? |
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29.11.2010, 16:38 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kümmern wir uns erstmal um die Ableitung und die notwendige Bedingung, wie sieht diese aus? |
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29.11.2010, 16:39 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst doch die 3 unterschiedliche Fälle behandeln für die 2. Ableitung (größer null, kleiner null oder null). Das meint Iorek mit Fallunterscheidung. Extrema keine Extrema Minimum Maximum und Sattelpunkt |
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29.11.2010, 16:39 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das meine ich nicht. Es ist eine Fallunterscheidung für die Koeffizienten b und c nötig. |
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29.11.2010, 16:40 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f´(x)= 3x² + 2bx + c notwendige bedingung für ein extremum: f´(x) = 0 |
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29.11.2010, 16:42 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, diese Gleichung lässt sich z.B. mit der Mitternachtsformel lösen. |
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29.11.2010, 16:44 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tut mir leid, die ist mir nicht geläufig oder sie hat bei uns einen anderen namen |
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29.11.2010, 16:45 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht heißt die bei euch abc-Formel. Oder du formst dir die Gleichung soweit um, dass du die pq-Formel anwenden kannst. Eine dritte Möglichkeit wäre die quadratische Ergänzung. Edit: Was auch immer baphomet jetzt mit seiner (i.A. falschen) Auflistung sagen will... |
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29.11.2010, 16:52 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Iorek Was ist falsch? Damit die Funktion keine Hoch-und Tuefpunkte aufweist darf die Gleichung der ersten Ableitung keine Lösungen haben. Die Mitternachtsformel lautet: Da es für deine Funktion 2n Extrempunkt egeben soll, muss der Term unter der Wurzel größer Null werden. |
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29.11.2010, 16:54 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast aber noch mehr Aussagen gemacht als nur über die erste Ableitung, eine Aussage ob es einen Sattelpunkt kannst du mit dem was du aufgeschrieben hast noch gar nicht treffen. Und bei deiner Mitternachtsformel hast du etwas vertauscht. |
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29.11.2010, 16:57 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja beim Zähler vertauscht, schon korrigiert. Bei der Definition eines Sattelpunktes entsprechendes hinzugefügt. |
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29.11.2010, 17:04 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm ich bezweifle zwar, dass das ergebnnis richtig ist, aber gut . wenn man die gleichung umstellt kommt bei mir raus: f´(x)= x² + 2/3 bx + c/3 x1= -2b/3 + Wurzel [ (2b/3) - c/3] x2= -2b/3 - Wurzel [ (2b/3) - c/3] aber ich kann damit nicht wirklich was anfangen |
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29.11.2010, 17:10 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir befinden uns immer noch bei Aufgabe a,dort wird gefordert das die Funktion genau ein Extrema hat, also entweder Minimum oder Maximum. Das heißt im Klartext das die 1. ABleitung nur eine Lösung haben darf und das geschieht genau indem Moment bei dem der Term unter der Wurzel 0 wird. Das heißt; |
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29.11.2010, 17:12 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nein, genau einen Hoch- und Tiefpunkt ! |
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29.11.2010, 17:18 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bruch auflösen Weitere Umformung entsteht: Unter dieser Unleichung gilt das es 2 Extrempunkte gibt. |
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29.11.2010, 17:22 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
tut mir leid damit kann ich nichts anfangen, wenn du mir nicht hilfst, dann kannst du das jemand anderem erzählen. ich will jetzt nicht undankbar sein aber mit sowas kann ich nunmal nichts anfangen |
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29.11.2010, 17:29 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine 1.Ableitung lautet wie folgt: Dabei ist dein Koeffizient a=3 Aufgabenteil b ist deutlich einfacher zu lösen: Nun wissen wir das bei einem Sattelpunkt die erste und zweite Ableitung gleich 0 sein muss, die dritte ABleitung aber ungleich null. Das führt uns wieder zur Mitternachstformel, wobei wir nur den Term unter der Wurzel betrachten müssen. Ein Sattelpunkt heißt nur eine Lösung und somit muß dieser Term 0 werden, |
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29.11.2010, 17:31 | Philia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist das ne festlegung? |
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29.11.2010, 17:37 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sorry für den Einwurf, aber es ist wichtig:
@baphomet Für diese Aussage erteile ich dir hiermit offiziell eine Rüge. Fehler passieren allen, du brauchst nicht in Unverschämtheiten zu flüchten, wenn sie dir nachgewiesen wurden. Achte daher in Zukunft auf deine Wortwahl, auch und gerade wenn du dich ärgerst. |
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29.11.2010, 17:48 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja das ist ne Feststellung. Hier nochmal alles zu deinem Aufgabenteil b) Genau ein Sattelpunkt: hat genau eine Lösung(nämlich nur den Sattelpunkt) Wir müssen hierbei in der Mitternachtsformel nur Bedenken das der Koeffizient vor dem linearen Glied(2b) insgesamt als Koeffizient b in der Formel benutzt wird. Damit wir eine Doppellösung bekommen muss der Term unter der Wurzel 0 sein. Durch Einsetzten kommt man auf folgende Funktionslgeichung der Ableitung: Für b setzen wir in der Ableitung nun diesen Ausdruck ein. So erhalten wir für die 2. ABleitung Setzen wir unseren Sattelpunkt hierin ein, kommt 0 heraus was ja so sein muss. Bilden wir die dritte Ableitung stellen wir fest, sie ist ungleich null, damit haben wir eine Kubische Gleichung mit genau einem Sattelpunkt |
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29.11.2010, 18:34 | baphomet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um auf Aufgabe a zurückzukommen: Dies gelingt nur mittels der schon angegebenen Abschätzung. Die erste Ableitung muss zwei Lösungen haben, deshalb brauchen wir uns wieder nur den Term unter der Wurzel bei der Mitternachtsformel anzuanschauen. Die Abschätzung ergibt: Die dritte Aufgabe baut auf a und b auf. Das heißt im Klartext, es darf keine Extremas geben, das heißt das dies hier nicht erfüllt sein darf und auch kein Sattelpunkt existiert, also darf dieses folgich auch nicht gelten. Das heißt die erste Ableitung darf nicht null werden, das heißt der Term unter der Wurzel muß negativ sein, wie man das ermittelt solltest du ja jetzt hinbekommen. |
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