Dimension Lösungsmatrix

29.11.2010, 15:06	nosenseatall	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension Lösungsmatrix Hallo, Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} dim L_{A} \geq n-m \end{eqnarray}$ ist, mit $\begin{eqnarray} A \in F^{m x n} \end{eqnarray}$ Ich habe leider keinen Schimmer, wie ich da dran gehen soll. Ist $\begin{eqnarray} L_{A} \end{eqnarray}$ ein UVR von $\begin{eqnarray} F^{m x n} \end{eqnarray}$ ? Wenn ja, wie finde ich in dem UVR der Lösungsmengen eine Basis (Mit der man dann auf die Dimension schließen könnte?). Würde mich sehr freuen, wenn mich jemand zumindest in die richtige Richtung schupsen würde Schon mal Danke im Voraus, nosenseatall
29.11.2010, 19:55	mika_r1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich sitze über der gleichen Aufgabe. das heißt, dass das homogene Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & a_{1,n}\\ ... & ... & ... \\ a_{m,1} & ... & a_{m,n} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mindestens (n-m) linear unabhängige Lösungen hat. Also $\begin{eqnarray} dim L_A >= (n-m) \end{eqnarray}$ Hier muss man m.e. 2 Fälle betrachten: 1. $\begin{eqnarray} A = 0 \end{eqnarray}$ , d.h. es ex. n linear unabhängige Lösungen. Da n>=(n-m) stimmt die Aussage hier. 2. $\begin{eqnarray} A \neq 0 \end{eqnarray}$ zu 2, heißt: $\begin{eqnarray} \exists a_{i,j} \neq 0 \in A \text{ mit } i \in \left\{ 1,...,m \right\}, j \in \left\{ 1,...,n \right\} \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt mal annimmt, dass $\begin{eqnarray} a_{1,1} \neq 0 \end{eqnarray}$ und die linear unabhängigen Lösungen zu A=0 die Einheitsvektoren e1,...,en waren dann blieben jetzt hier alle bis auf e1. Also n-1. Dass ist ja immernoch >= n-m. Wie da jetzt etwas allgemeines zeige, weiß ich allerdings auch nicht. Ein Hinweis wäre echt super.

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