unendlich erzeugter Vektorraum

29.11.2010, 16:07	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
unendlich erzeugter Vektorraum Ich soll folgende Implikation zeigen: { $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} v_{n} \end{eqnarray}$ } linear unabhängig für alle n>1 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ dim V= $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ Meine Idee ist die folgende: { $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} v_{n} \end{eqnarray}$ } linear unabhängig für alle n>1 $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} v_{n+1} \end{eqnarray}$ } linear unabhängig * Angenommen { $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} v_{n} \end{eqnarray}$ } ist eine Basis von V, dann müsste gelten: 1) { $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} v_{n} \end{eqnarray}$ } ist linear unabhängig (das ist wahr nach Vorraussetzung) 2) { $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} v_{n} \end{eqnarray}$ } ist ein Erzeugendensystem von V. Das ist aber ein Widerspruch, da z.B. der Vektor $\begin{eqnarray} v_{n+1} \end{eqnarray}$ nicht als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray} v_{1} \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} v_{n} \end{eqnarray}$ dargestellt werden kann (nach *) Also war die Annahme falsch, also kann es keine Basis mit endlich vielen Vektoren geben Ist mein Ansatz richtig und reicht dies schon für den kompletten Beweis? Danke schonmal im Voraus für eure Antworten
29.11.2010, 16:09	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Ansatz ist richtig. Wäre ich Korrektor, ich würds so akzeptieren.

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