Beweis der Vollständigkeit eines kompakten Raumes

29.11.2010, 16:49

alex2007

Beweis der Vollständigkeit eines kompakten Raumes

Sei (X, d) ein kompakter, metrischer Raum. Zeigen Sie, dass (X,d) vollständig ist.

Hier fällt mir nur ein, das eine Teilmenge von X genau dann kompakt ist, wenn sie abgecshlossen und beschränkt ist. Allerdings weis ich nicht, was ich hier drauß schlussfolgern soll, bzw. ob mich das weiterbringt. Hier wäre ich über einen Denkanstoß sehr dankbar.

29.11.2010, 17:35

FaustFrankenstein

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RE: Beweis der Vollständigkeit eines kompakten Raumes
Hi Alex2007,

ich versuch Dir mal zu helfen. Ich betone versuchen. Denn im Moment beschäftige ich mich auch mit der Funktionalanalysis und bin weiß Gott kein alter Hase.
Vielleicht kommt ja noch einer vorbei.
Zumindest für einen Denkanstoß sollte es genügen.

$\begin{eqnarray*} \text{Sei } B_{\epsilon}(x) \text{ der offene Ball bezüglich deiner Metrik um x mit Radius }\epsilon \text{Dann gilt für einen kompakten, metrischen Raum, dass für jede offene Überdeckung von } X \subset \bigcup_{i \in I} B_{\epsilon_i}(x_i) \text{ eine endliche Teilüberdeckung mit} X = B_{\epsilon_{i_1} }(x_{i_1}) \cup B_{\epsilon_{i_2}}(x_{i_2})... \cup B_{\epsilon_{i_n}}(x_{i_n}) \text{ wobei } i_1,i_2,...,i_n \in I \text{ existiert.} \end{eqnarray*}$

Was Du zeigen mußt, dass jede Cauchy Folge in einem solchen Raum konvergiert.

29.11.2010, 19:04

Evelyn89

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Kleine Anmerkung:

Das was du sagtest:

Zitat:

Hier fällt mir nur ein, das eine Teilmenge von X genau dann kompakt ist, wenn sie abgecshlossen und beschränkt ist.

stimmt so nicht ganz.

Das ist nur dann richtig, wenn X ein endlichdimensionaler Vektorraum ist (sieh Satz von Heine-Borel). Trotdem gilt aber die Folgerung "X kompakt => X abg.&beschränkt" immer. Nur die Umkehrung ist i.A. falsch.

Andere Frage: Hattet ihr den Begriff "folgenkompakt" und die Äquivalenz von kompakt und folgenkompakt?

Das könnte nämlich hilfreich sein.

29.11.2010, 20:33

alex2007

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Zitat:

Original von Evelyn89

Andere Frage: Hattet ihr den Begriff "folgenkompakt" und die Äquivalenz von kompakt und folgenkompakt?

Das könnte nämlich hilfreich sein.

Ja all diese Begriffe hat er heute in der Vorlesung definiert. Dennoch komm ich beim durchforsten der Unterlagen auf keine echte idee.

29.11.2010, 20:55

Evelyn89

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Okay, das ist schon mal gut.

$\begin{eqnarray*} \text{Wegen X kompakt } \Leftrightarrow \text{X folgenkompakt} \end{eqnarray*}$ , kannst du du mit der Folgenkompaktheit arbeiten.

Was bedeutet dies? Wie lautet die Definition?

$\begin{eqnarray*} \text{X folgenkompakt } :\Leftrightarrow \text{ jede Folge } (x_n)_{n \in \mathbb N } \subset X \text{ hat eine konvergente Teilfolge } (x_{n_{k}})_{k\in \mathbb N} \text{ in X.} \end{eqnarray*}$

Also haben insbesondere die Cauchy-Folgen konvergente Teilfolgen.

Was heißt das? (Da hattet ihr bestimmt auch was.)

29.11.2010, 20:56

Evelyn89

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P.S.: Du bist schon fast fertig, nur ein Argument fehlt noch.

30.11.2010, 15:18

Evelyn89

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Wie weit bist du denn nun mit der Aufgabe oder ist das jetzt alles egal?
Wenn Leute versuchen zu helfen, kann man ja wenigstens Feedback geben, finde ich.

30.11.2010, 18:38

blutorange

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Ich nehme an, es geht um ANAG bei Herrn Schuricht. Die Aufgaben haben wir erst gestern bekommen und haben noch eine Woche Zeit, also keine Sorge, er antwortet bestimmt noch.
Bezüglich der Aufgabe: "alle Cauchy-Folgen konvergente Teilfolgen" soweit klar, aber dass "CF hat konv. TF" => "CF konvergent" war so nicht in der Vorlesung.
Zum Beweis der Aussage nimm dir die Definition der Konvergenz der TF der CF:
$\begin{eqnarray*} |(a_n)_k-a)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
sowie die Defintion der Folge, CF zu sein (Abstand der Folgenglieder beliebig klein, für spezielles Folgenglied):
$\begin{eqnarray*} |a_n-(a_n)_k|<\epsilon \end{eqnarray*}$
und schaue, was daraus folgt.

Da fällt mir ein, wir hatten die Folgerung, dass "Folge ist CF" => "Folge ist beschränkt und hat max. 1 Häufungspunkt".
Nun wissen, dass es eine konvergente TF gegen a für jede CF gibt. Somit hat die CF genau einen HP. Nun gilt nach Satz 15.3:
$\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty} a_n = \liminf_{n \to \infty } a_n \Leftrightarrow \text{ a einziger HP von } a_n \Leftrightarrow a_n \to a \end{eqnarray*}$
und damit konvergiert die CF (gegen a).

Ergibt Sinn?

30.11.2010, 18:48

blutorange

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Ok, ich habe mich registriert. Noch eine kleine Ergänzung:
Satz 15.3 (genauer 3.3.15.3) gilt natürlich nur für beschränkte Folgen und das ist die CF ja (Satz 3.4.1.2).

05.12.2010, 21:36

alex2007

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also hier hab ich nochmal über das gesagte nachgedacht, was so im prinzip sinn ergibt.

also hätte ich hier:

X kompakt

<=> X folgenkompakt

<=> jede Folge $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n}\right\}_{n \in \mathbb N} \subset X \end{eqnarray*}$ hat eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n_{k}}\right\}_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in X

<=> jede Cauchyfolge $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n}\right\}_{n \in \mathbb N} \subset X \end{eqnarray*}$ hat eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n_{k}}\right\}_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ in X (*)

=> $\begin{eqnarray*} \left\{ a_{n_{k}}\right\}_{k \in \mathbb N} \to a \end{eqnarray*}$ in X (**)

Folge ist CF=> Folge beschränkt und hat maximal einen HP (***)

(**) und (***)=> Cauchyfolge konvergiert gegen a

daraus folgt:
(*) <=> jede Cauchyfolge konvergiert in X
<=> X vollständig

q.e.d.

05.12.2010, 23:20

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von blutorange
Da fällt mir ein, wir hatten die Folgerung, dass "Folge ist CF" => "Folge ist beschränkt und hat max. 1 Häufungspunkt".
Nun wissen, dass es eine konvergente TF gegen a für jede CF gibt. Somit hat die CF genau einen HP. Nun gilt nach Satz 15.3:
$\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty} a_n = \liminf_{n \to \infty } a_n \Leftrightarrow \text{ a einziger HP von } a_n \Leftrightarrow a_n \to a \end{eqnarray*}$
und damit konvergiert die CF (gegen a).

Ergibt Sinn?

Was du da mit dem $\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ machst, gibt keinen Sinn, denn der ist im Allgemeinen gar nicht definiert, da man ja keine Ordnung auf dem Raum hat.

05.12.2010, 23:57

alex2007

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Zitat:

Original von Gastmathematiker

Zitat:

Was du da mit dem $\begin{eqnarray*} \liminf_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ machst, gibt keinen Sinn, denn der ist im Allgemeinen gar nicht definiert, da man ja keine Ordnung auf dem Raum hat.

Ja das war Unfug was er da aufgeschrieben hat.

Man muss einfach Schlussfolgern, dass wenn die TF gegen a konvergiert, a auch der Häufungspunkt der Cauchyfolge sein muss.

15.12.2013, 02:03

Hamude

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Ist die Lösung von alex2007 richtig?
Ich habe mich auch mal an die Aufgabe rangesetzt aber niemand hatte auf die Lösung vom alex2007 geantwortet.

15.12.2013, 02:32

Nofeykx

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Hallo,

die Lösung stimmt so grob, allerdings ist sie nicht besonders gut formuliert. Äquivalenzpfeile sollte man nur dort machen, wo sie auch hingehören. Die sind dort etwas zu oft verwendet worden.

Allerdings werden doch dort spezifische Sätze aus seinem Skript verwendet. Darfst du die auch alle benutzen ?

Es ist übrigens nicht sehr schwer, zu zeigen, dass eine Cauchyfolge mit konvergenter Teilfolge selbst konvergiert.

15.12.2013, 21:19

Hamude

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Zitat:

Original von Nofeykx
Hallo,

die Lösung stimmt so grob, allerdings ist sie nicht besonders gut formuliert. Äquivalenzpfeile sollte man nur dort machen, wo sie auch hingehören. Die sind dort etwas zu oft verwendet worden.

Allerdings werden doch dort spezifische Sätze aus seinem Skript verwendet. Darfst du die auch alle benutzen ?

Es ist übrigens nicht sehr schwer, zu zeigen, dass eine Cauchyfolge mit konvergenter Teilfolge selbst konvergiert.

Da ich mich gerade mit dem Thema befasse, versuche ich das zu verstehen.
Was ist da noch unvollständig, bzw. wie ist das besser zu formulieren. Cauchyfolgen hatten wir in der Vorlesung aber habe das noch nicht ganz verstanden deswegen würde ich das gerne versuchen an der Lösung dieser Aufgabe hier nachzuvollziehen.

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