FunkAna - u stetig -kern u abgeschlossen

29.11.2010, 17:03	FaustFrankenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
FunkAna - u stetig -kern u abgeschlossen Hallo liebes Forum, ja man merkt es, ich hänge an und über meinem Übungsblatt zur FunkAna, bei der ich für folgende Aufgabe um Hilfe bitte, $\begin{eqnarray} \text{Sei X ein normierter k-Vektorraum} (k=\mathbb R \text{oder } k=\mathbb C) \text{ und sei } u: X \rightarrow k^n \text{linear. Zeigen Sie, dass u genau dann stetig ist, wenn } ker \ u \subset X \text{ abgeschlossen ist.}<br /> \text{(Hinweis: Betrachten Sie den Quotientenraum X/ker u)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Also angenommen u sei stetig, dann folgt für eine Folge } (x_n)_n \text{ aus } ker \ u \text{ mit } x_n \rightarrow x \in X<br /> u(x_n) \rightarrow u(x) \text{ da u stetig}.<br /> \text{ Es gilt aber auch, da u stetig } u(x)=u(lim_{n \rightarrow \infty} x_n)=lim_{n \rightarrow \infty}u(x_n)= 0 \text{ also } x \in ker \ u \end{eqnarray}$ Ist das richtig so? $\begin{eqnarray} \Leftarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ker \ u \text{ abgeschlossen. Dann gilt für eine konvergente Folge }(x_n)_n \text{ aus } ker \ u \text{ mit } x_n \rightarrow x \text{ das x schon in ker u liegt.Damit folgt } <br /> u(x)=u(lim_{n \rightarrow \infty} x_n)=lim_{n \rightarrow \infty}u(x_n)= 0 \text{ und u ist stetig auf ker u}.<br /> \end{eqnarray}$ Falls das richtig ist, wie könnte ich dann die Stetigkeit auf X/ker u zeigen? Darf ich den Satz hier anwenden, da u insbesondere in der 0 stetig ist, dass dann auch u auf ganz X stetig ist, oder ist dieser Satz hier nicht korrekt? Ist denn ein geschulter Funktionalanalytiker hier, der sich meiner erbarmt? Also, in der Zwischenzeit habe ich mir folgendes überlegt, das mit der Stetigkeit in der 0 lass ich mal aussen vor, das hab ich in einen anderen Thread verschoben. Es gilt ja $\begin{eqnarray} X \cong ker(u) \oplus bild(u) \text{ d.h. dass } X/ker \ u \cong bild(u) =k^n.<br /> \text{ Denn } bild(u) \subset k^n \text{ ist ein Unterraum und } u \ne 0. <br /> \text{ Dann bekomme ich aber mit der neuen Abbildung } <br /> v: X/ker \ u \rightarrow k^n <br /> x \rightarrow u(x) <br /> \text{ für x* Repräsentant der Restklasse [x] eine endlich }<br /> \text{ dimensionale Abbildung von dem n dimensionalen } <br /> \text{Vektorraum X/ker u nach } k^n \text{ und diese ist stetig.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Und es gilt } \|u(x)\|=\|v(x)\| \le \\|v\\|_{X / ker \ u} \\|x\\|_{X / ker \ u} \le \\|v\\|_{X / ker \ u} \\|x\\|_X \end{eqnarray*}$ Damit ist u beschränkt und insbesondere stetig. Stimmt das alles so?
01.12.2010, 09:29	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Von mir aus gesehen, sollte das so stimmen (obwohl ich kein geschulter Funktionalanalytiker bin ^^).

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