(a x b) x c = a x (b x c)

29.11.2010, 17:14	Icheben3	Auf diesen Beitrag antworten »
(a x b) x c = a x (b x c) hallo, die frage ist: Für welche Vektoren $\begin{eqnarray} a, b, c \in \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (a \times b)\times c = a \times (b\times c) \end{eqnarray}$ mein ansatz war dass ich einfach das ganze ausforuliert habe um am ende dann ein gleichungssystem zuhaben das relativ einfach ist. ein gleichungssystem habe ich natürlich bekommen, nur sah das dann derart aus und war nicht einfach bzw klar zu definieren für $\begin{eqnarray} a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_1=a_1 \frac{b_3c_3 + b_2c_2}{a_2b_2+a_3b_3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_2=a_2 \frac{b_1c_1 + b_3c_3}{a_3b_3+a_1b_1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c_3=a_3 \frac{b_2c_2 + b_1c_1}{a_1b_1+a_2b_2} \end{eqnarray}$ klar das kann man noch wild rum einsetzen usw aber macht es sinn da noch weiter zu rechnen oder geht es vlt noch einfacher? bzw ist das überhaouopt der richtige ansatz??
29.11.2010, 23:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die komponentenweise Rechnung erscheint sehr mühsam zu werden. Versuche es statt dessen einmal mit der Graßmann-Identität. Damit erreicht man zunächst einmal eine vereinfachte Bedingung für die Gleichheit dieser beiden Kreuzprodukte. mY+
30.11.2010, 09:42	Icheben3	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber ich bin doch eigentlich übers ausformulieren auch an der Graßmann-Identität vorbei gekommen, oder nicht? jedenfalls spuckt mir die Graßmann-Identität das gleiche Gleichungssystem aus.
30.11.2010, 15:12	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wollte zunächst NICHT in die Komponentendarstellung einsteigen. Wende auf beide Produkte die besagte Identität an und setze die beiden Ergebnisse gleich. Dann kann etwas vereinfacht werden und es müsste sich schließlich ergeben, dass $\begin{eqnarray} \vec a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec c \end{eqnarray}$ kollinear sein müssen ... () Dazu kommt man wie gesagt noch ohne Komponentendarstellung. Im Prinzip bezeichnet deine Lösung tatsächlich bereits ebenfalls diesen Sachverhalt, nur dürften bei dir die Plätze der Brüche vertauscht sein (?). mY+ () $\begin{eqnarray} \vec a \times (\vec b \times \vec c) = (\vec a \ . \ \vec c) \ . \ \vec b - (\vec a \ . \ \vec b) \ . \ \vec c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec a \times \vec b) \times \vec c = - \vec c \times (\vec a \times \vec b) = - (\vec c \ . \ \vec b) \ . \ \vec a + (\vec c \ . \ \vec a) \ . \ \vec b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (\vec a \ . \ \vec c) \ . \ \vec b - (\vec a \ . \ \vec b) \ . \ \vec c = - (\vec c \ . \ \vec b) \ . \ \vec a + (\vec c \ . \ \vec a) \ . \ \vec b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$
30.11.2010, 15:36	Icheben3	Auf diesen Beitrag antworten »
musste die aufgabe leider schon abgeben. habe es jetzt so gelöst: $\begin{eqnarray} (a \times b) \times c = a \times (b \times c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ (nach Graßmann) $\begin{eqnarray} b(c\cdot a) - a(c\cdot b)=b(a\cdot c)-c(a\cdot b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow c(a\cdot b)-a(c\cdot b)=0 \end{eqnarray}$ Daraus kann man dann ablesen, dass entweder $\begin{eqnarray} a=c \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ linearunabhängig sind und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ der normalenvektor von $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ (also $\begin{eqnarray} ab=ac=0 \end{eqnarray}$ ) sein muss. Es ergibt sich die Lösungsmenge: $\begin{eqnarray} \mathbb L = \{a, b, c \in \mathbb R ^3: (ab=ac=0 \wedge \forall \lambda \in \mathbb R: a\neq \lambda\cdot b) \vee (a=c)\} \end{eqnarray}$ ich hoffe das is richtig oder zumindest nicht total falsch tortzdem danke für die mühe
30.11.2010, 17:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine letzte Gleichung stimmt, sie ergibt sich ja auch bei meiner vordem gezeigten Rechnung. Vorbehaltlos ist aber deinen Folgerungen daraus nicht zuzustimmen. a = c stimmt nur dann, wenn die beiden skalaren Produkte gleich (oder Null) sind. a und c sind im Allgemeinen linear abhängig. Sie sind nur dann linear unabhängig, wenn a, b, c alle aufeinander normal stehen. mY+
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