Konvergenz ( nte Wurzel aus n ) - 1

29.11.2010, 17:17

Martin L

Konvergenz ( nte Wurzel aus n ) - 1

Moin Moin,

ich habe aktuell einen Denkfehler bei folgender Aufgabe:

Ich soll auf Konvergenz untersuchen und lim sup und lim inf finden.

b.) $\begin{eqnarray*} b_n = \sqrt[n]{n} - 1, n \in N \end{eqnarray*}$ Hinweis: Verwenden Sie den Ansatz $\begin{eqnarray*} n = (1+b_n)^n \end{eqnarray*}$ um eine Abschätzung zu gewinnen.

Ich habe erst mal ein paar Werte eingegeben um einen Grenzwertkandidaten zu bekommen. Dieser ist 0.

Also wäre ja zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \exists n_0 \in N : \mid \sqrt[n]{n} -1 \mid < \epsilon \forall n > n_0 \end{eqnarray*}$

Also hab ich mir gedacht ich nehm mal die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \mid \sqrt[n]{n} -1 \mid < \epsilon \end{eqnarray*}$
mache dadraus:
$\begin{eqnarray*} \mid (\sqrt[n]{n} -1)^n\mid < \epsilon ^n \end{eqnarray*}$

Komm dann nicht folgendes raus ?

$\begin{eqnarray*} \mid n - 1^n\mid < \epsilon^n \end{eqnarray*}$

Weil dann wäre es ja schwer ein passendes n_0 zu finden, so das dass für alle nachfolgenden n gilt. Damit wäre aber ja gezeigt, dass die Folge nicht gegen 0 konvergiert aber das tut sie doch...

was mache ich falsch? Ich hoffe ihr wisst Rat.

Gruß
Martin

29.11.2010, 19:18

klarsoweit

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RE: Konvergenz ( nte Wurzel aus n ) - 1

Zitat:

Original von Martin L
Komm dann nicht folgendes raus ?

$\begin{eqnarray*} \mid n - 1^n\mid < \epsilon^n \end{eqnarray*}$

Nee, denn da hast du ganz einfach mal die binomischen Formeln außer Acht gelassen.

Man muß auch nicht immer Grenzwerte mittels der epsilon-Definition nachweisen. Der Hinweis lautete:

Verwenden Sie den Ansatz $\begin{eqnarray*} n = (1+b_n)^n \end{eqnarray*}$ um eine Abschätzung zu gewinnen.

Du kannst $\begin{eqnarray*} (1+b_n)^n \end{eqnarray*}$ mittels der Bernoullischen Ungleichung nach unten abschätzen.

29.11.2010, 19:44

Martin L

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Ach gott verdammt :-D Naja, mitlerweile habe ich 2 Stunden geschlafen und bin erholt. Das sind auch so Fehler die einem im Nachhinein einfach nur peinlich sind :-D.

Bernoullische Ungleichung sagt mir so nichts, deshalb hab ichs ers mal so probiert, da ich halt nicht wusste was ich damit anfangen soll.

Danke aber auch dafür, ich probiers jetz noch mal und hoffe, es klappt.

Gruß
Martin

29.11.2010, 22:52

Martin L

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So, ich hab jetzt noch mal rumgerechnet und rumgeschätzt aber irgendwie fehlt mir glaub ich noch der entscheidende schritt.

Ich habe ja immer noch zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \mid \sqrt[n]{n} -1\mid < \epsilon \end{eqnarray*}$

und ich weiß:
$\begin{eqnarray*} n=(1+b_n)^n \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich mit der Bernoullischen Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} n = (1+b_n)^n \geq 1+n*b_n \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \geq b_n \end{eqnarray*}$

Mir wird nur nicht klar, was mir das bringt.

Eventuell ist das aber auch der ganz falsche weg und ich sollte lieber zeigen, dass 0 die größte untere schranke ist, und dass die Folge monoton fallend ist. Aber ich weiß nicht ob das einfacher ist. Irgendwie steh ich aufm Schlauch.

Gruß
Martin

30.11.2010, 08:32

klarsoweit

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Tut mir leid, ich hätte sagen müssen, daß man die erweiterte Bernoullische Ungleichung braucht:

Für b_n >= 0 gilt $\begin{eqnarray*} n = (1+b_n)^n \geq 1 + \binom n 2 \cdot b_n^2 = 1 + \frac{n(n-1)}{2} \cdot b_n^2 \end{eqnarray*}$

Im Prinzip ergibt sich die Ungleichung direkt aus der binomischen Formel. Jetzt nach b_n umstellen und n gegen unendlich laufen lassen.

30.11.2010, 18:35

Martin L

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poah da blick ich erst mal gar nicht durch. Find ich aber auch schon happig, wenn man da selbst drauf kommen soll, ich denke nicht, dass Bernoulli auf seine Formeln in einer Woche gekommen ist...

naja ich hab aber hier noch mal geguckt

http://de.wikipedia.org/wiki/Bernoullische_Ungleichung

und im Beispiel ist ein scheinbar ganz ähnlicher Beweis, nur dass dort die nte wurzel aus a genommen wird.

Das kapier ich auch alles. Nur kann man ja nicht einfach a durch n ersetzen weil a ja beliebig aber fest ist und n immer weiter wächst.

Seh ich das richtig?

Dann versuch ich jetzt nämlich mal nach b_n umzustellen und dann mal zu gucken wie sich das verhält.

Allerdings weiß ich dann nicht, ob man nicht theoretisch auch noch die erweiterte bernoullische ungleichung beweisen müsste, was denke ich, den Rahmen der Hausaufgabe 3b sprengen würde. Sogesehen gibts vllt hoffe ich doch noch eine einfachere Möglichkeit.

Gruß
Martin

30.11.2010, 18:49

Martin L

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So, ich habs mal versucht, und es hat geklappt. ich glaub ich verweise einfach auf die erweiterte bernoullische ungleichung und lasse das so im raum stehen und widme mich dann jetzt der Linearen Algebra.

Danke sehr

Ich hab also:
$\begin{eqnarray*} n \geq 1+ \frac{n(n-1)}{2}*b_n^2 \end{eqnarray*}$
nach b_n aufgelöst.
also:
$\begin{eqnarray*} (n-1)*\frac{2}{n(n-1)} \geq b_n^2 \end{eqnarray*}$
dann hab ich noch die Wurzel gezogen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2n-2}{n^2-n}} \geq b_n \end{eqnarray*}$

Damit läuft das in der wurzel gegen 0, damit läuft die Wurzel gegen 0 damit läuft b_n gegen 0.

Gruß
Martin

01.12.2010, 09:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Martin L
$\begin{eqnarray*} (n-1)*\frac{2}{n(n-1)} \geq b_n^2 \end{eqnarray*}$
dann hab ich noch die Wurzel gezogen:

Warum du an dieser Stelle den Faktor (n-1) nicht rauskürzst, bleibt dein Geheimnis. Außerdem brauchst du nicht die Wurzel ziehen. Wenn das Quadrat einer Folge gegen Null konvergiert, dann konvergiert auch die Folge selbst gegen Null.

Wie ich oben schon sagte, leitet sich die erweiterte Bernoullische Ungleichung direkt aus den binomischen Formeln ab. Ich habe einfach nur 2 Summanden genommen und den Rest unter den Tisch fallen lassen.

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