Konvergenz bei Potenzreihen

29.11.2010, 17:56

t0dd

Konvergenz bei Potenzreihen

Meine Frage:
Hi,

wir machen gerade Konvergenz bei Potenzreihen.

Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:

"
Man bestimme alle $\begin{eqnarray*} z\in C \end{eqnarray*}$ , für welche die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{z^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Tipp: Man betrachte für $\begin{eqnarray*} | z | =1 \end{eqnarray*}$ den Term $\begin{eqnarray*} (1-z)* \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N \frac{z^{n}}{n} \end{eqnarray*}$ .
"

Meine Ideen:
Ich hab mit dem Quotienten Kriterium angefangen, komme aber auf nichts gescheites. und der Tipp verwirrt mich noch mehr. Kann mir das jemand erklärn?

Danke.

Gruß t0dd

29.11.2010, 20:34

Abakus

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RE: Konvergenz bei Potenzreihen
Hallo!

Der erste Schritt ist den Konvergenzradius zu berechnen. Der Tipp gilt dann für spezielle Fälle auf dem Konvergenzkreis.

Grüße Abakus smile

29.11.2010, 21:43

t0dd

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ich hab jz folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} \left(\lim sup_{n \to \infty } \sqrt[n]{\frac{1}{n} } \right)^{-1} = 1 \end{eqnarray*}$

dann hab ich ja nur noch $\begin{eqnarray*} z^{n} \end{eqnarray*}$

wenn ich da das gleiche mache hab ich nur noch

$\begin{eqnarray*} \left(\lim sup_{n \to \infty } z \right)^{-1} \end{eqnarray*}$

das sagt mir jz was?^^

29.11.2010, 21:55

Abakus

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Naja, wie berechnet man den Konvergenzradius? Nach der Formel von Cauchy-Hadamard? Schau die mal nach bitte.

Also hier ist jedenfalls r=1 dann. Jetzt sind noch die Punkte auf dem Konvergenzradius zu untersuchen.

Grüße Abakus smile

30.11.2010, 20:59

t0dd

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Man berechnet den Konvergenzradius doch genau mit den Formeln die ich hingeschriebn hab...jz raff ich gar nichts mehr..

02.12.2010, 00:58

Abakus

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Zitat:

Original von t0dd
Man berechnet den Konvergenzradius doch genau mit den Formeln die ich hingeschriebn hab...jz raff ich gar nichts mehr..

Die Formeln beziehen sich nur auf die Koeffizienten der Potenzreihe (nicht auf das z).

Grüße Abakus smile

02.12.2010, 09:46

t0dd

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Der Radius ist ja 1.
Nach Def. konvergiert es für |z|<r -> |z|<1. und für |z|>1 divigiert es.
un jz kommt ja der Tipp zu tragen, aber ich versteh ihn trotzdem nicht. Wie zeige ich jz also dass es bei |z|=1 konvergiert?

Danke. Augenzwinkern

Gruß Torsten

02.12.2010, 20:46

Manni Feinbein

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RE: Konvergenz bei Potenzreihen
Ist $\begin{eqnarray*} \left(a_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine monotone Nullfolge, so konvergiert

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n e^{in\varphi}\text{ für }0<\varphi<2\pi. \end{eqnarray*}$

Wegen

$\begin{eqnarray*} \left|\sum_{k=0}^{n-1}e^{ik\varphi}\right|=\left|\frac{1-e^{in\varphi}}{1-e^{i\varphi}}\right|\leq\frac 2{\left|1-e^{i\varphi}\right|} \end{eqnarray*}$

folgt dies mit der sogenannten Abelschen partiellen Summation.

Deine Reihe konvergiert auf dem Konvergenzkreis also genau an der Stelle 1 nicht.

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