Tangentengleichung an Parabel

29.11.2010, 18:08

xrayer

Tangentengleichung an Parabel

Meine Frage:
Hallo,

habe folgende Aufgabe:
Bestimme die Gleichung der Tangente t von P(1/6) aus an der Parabel p: y=-(x-2)^2+3
folgende formeln sind mir dazu bekannt:
$\begin{eqnarray*} t: y=mx+q \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
bildlich hab ich das ganze schon im kopf, leider fehlen mir weitere formeln bzw. allgemeine anhalspunkte wie ich das ganze umsetzen kann

29.11.2010, 19:26

Ibn Batuta

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Schaue mal hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/10/parabeltangente.htm
Wenn du mit der Erklärung nicht klar kommst, melde dich.

Ibn Batuta

29.11.2010, 19:50

xrayer

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kriegs iwie nicht hin, es wäre sehr sehr nett wenn mir einer die lösung schreiben sollte, gibt ne längere geschichte zu der aufgabe, is was persöhnliches.. (aber keine wette)

29.11.2010, 19:57

Cel

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Zitat:

Original von xrayer
kriegs iwie nicht hin, es wäre sehr sehr nett wenn mir einer die lösung schreiben sollte, gibt ne längere geschichte zu der aufgabe, is was persöhnliches..

Nun, leider gibt es hier im Forum eine ganz kurze Geschichte.¹

Helfer gibt es aber genug.

29.11.2010, 19:59

Ibn Batuta

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Sorry, das war Blödsinn.

29.11.2010, 20:20

xrayer

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... hatte grade schon geguckt wie das gehen soll

hatte schon bissl was gefunden, nur zur info, beherrsche stoff komplett bis einschließlich der 10. klasse, und bitte keine antworten von wegen " warte doch einfach bis das bei dir drankommt und rechne es dann aus "...

wäre für jede weitere hilfe sehr dankbar

29.11.2010, 20:21

Ibn Batuta

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Sorry, hatte mich verlesen. Ich dachte dieser Punkt sei der Schnittpunkt der Tangente mit der Parabel. Daher mein Tipp von vorhin.

Also, jetzt der richtige Tipp. Augenzwinkern

Du hast die Parabel:
$\begin{eqnarray*} y=-(x-2)^2+3 \end{eqnarray*}$

Und die Gerade:
$\begin{eqnarray*} y = m(x-1)+6 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichsetzen:
$\begin{eqnarray*} m(x-1)+6 = -(x-2)^2+3 \end{eqnarray*}$

Nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auflösen, Diskriminante muß $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein.

Ibn Batuta

29.11.2010, 20:40

xrayer

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$\begin{eqnarray*} mx-m+6=-(x^2)+7 |-7 mx-m-1=-(x^2) |:x -1=-x |*-1 1=x \end{eqnarray*}$

soweit richtig ?

29.11.2010, 20:45

Ibn Batuta

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Dafür, daß du den Stoff der 10. Klasse angeblich beherrscht, kannst du keine binomische Formel ausmultiplizieren.

Was ergibt $\begin{eqnarray*} -(x-2)^2 \end{eqnarray*}$ ausmultipliziert und anschließend $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ hinzuaddiert?

Ibn Batuta

29.11.2010, 20:59

xrayer

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$\begin{eqnarray*} mx-m+6=-x^2+4x-4+3 mx-m+7=-x^2+4x 7=[x(-x+4)]/x 7=-x+4 -3=x \end{eqnarray*}$

jetzt müsste es richtig sein

29.11.2010, 21:57

Ibn Batuta

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Nein, es ist wieder falsch. Was soll diese komische, falsche, nichtsbringende Umformung? Wo ist das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ abgeblieben?

So geht es:

$\begin{eqnarray*} mx-m+6=-x^2+4x-4+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} mx-m+7=-x^2+4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+mx-4x+7-m = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x(m-4)+7-m = 0 \end{eqnarray*}$

Und nun kannst du die Lösungsformel dafür verwenden. Die Diskriminante muß $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben, sonst ist es keine Tangente.

Ibn Batuta

29.11.2010, 22:02

xrayer

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sorry, dass ich mich so bescheuert anstelle...

welche isn die lösungsformel ?

29.11.2010, 22:10

Ibn Batuta

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Diese hier natürlich:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ müssen natürlich die entsprechenden Ausdrücke deiner Gleichung hier eingesetzt werden.

Ibn Batuta

29.11.2010, 22:27

xrayer

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wärs vom prinzip her so richtig ?

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4*(-1)*(-1)}}{2*-1} \end{eqnarray*}$

29.11.2010, 22:57

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Nein, es ist wieder falsch. Was soll diese komische, falsche, nichtsbringende Umformung? Wo ist das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ abgeblieben?

So geht es:

$\begin{eqnarray*} mx-m+6=-x^2+4x-4+3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} mx-m+7=-x^2+4x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+mx-4x+7-m = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+x(m-4)+7-m = 0 \end{eqnarray*}$

Und nun kannst du die Lösungsformel dafür verwenden. Die Diskriminante muß $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben, sonst ist es keine Tangente.

Ibn Batuta

Nein. Denn hier ist dein
$\begin{eqnarray*} a = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b =m-4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = 7-m \end{eqnarray*}$

Das mußt du einsetzen. Du erhältst dann in der Diskriminante wiederum eine quadratische Gleichung für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Ibn Batuta

29.11.2010, 23:05

xrayer

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$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-m+4\pm\sqrt{(m-4)^2-4*1*(7-m)}}{2*1} = \frac{-m+4\pm\sqrt{m^2-16-28-4m)}}{2} = \frac{-m+4\pm\sqrt{m^2-44-4m)}}{2} \end{eqnarray*}$

und wie gehts jetzt weiter ?

29.11.2010, 23:17

Ibn Batuta

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Ich bin jedesmal über deine Umformungen baff.

Du hast folgende Gleichung: $\begin{eqnarray*} x^2+x(m-4)+7-m = 0 \end{eqnarray*}$
Dann gebe ich dir die Lösungsformel inklusive der Parameter an und dann wieder falsch. verwirrt

Also pass auf:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{4-m\pm\sqrt{(m-4)^2-4(7-m)}}{2}=\frac{4-m\pm\sqrt{m^2-4m-12}}{2} \end{eqnarray*}$

Und nun schaust du für welches $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Diskrimante $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wird.

Ibn Batuta

29.11.2010, 23:26

xrayer

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diskrimante ist X1,2 ? ... tut mir echt leid, wie gesagt, ich versteh das zeug leider nicht, mathe ist wohl nicht so mein ding, ich würd nur gern die lösung dieser aufgabe haben, das ist alles, und natürlich rechne ich auch selbst (ich versuchs jedennfalls, was anscheinend überhaupt nix bringt...)

29.11.2010, 23:38

Ibn Batuta

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Das gibt es nicht. Also das "Mathe ist nicht mein Ding". Würde ich hier erzählen, was ich bis zur 10. Klasse für Noten in Mathematik und Physik gehabt hatte, würde man mir das nicht abkaufen, daß ich heute Mathematik studiere.

Hinsetzen, rechnen, üben. Ganz viel und ganz oft.

Ich erkläre es dir ja?

$\begin{eqnarray*} \frac{4-m\pm\sqrt{m^2-4m-12}}{2} \end{eqnarray*}$

Die Diskriminante muß $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ergeben. Also muß $\begin{eqnarray*} m^2-4m-12=0 \end{eqnarray*}$ ergeben.
Hier haben wir erneut eine quadratische Gleichung. Also setzen wir in unsere Lösungsformel erneut ein:

$\begin{eqnarray*} m_{1,2} = \frac{4\pm\sqrt{16-4(-12)}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{64}}{2}=\frac{4\pm8}{2} \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} m_1 = 6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_2=-2 \end{eqnarray*}$

Damit haben wir also zwei Tangenten. Die Gleichungen der beiden Tangenten lauten:

$\begin{eqnarray*} y_1 = 6(x-1)+6 = 6x-6+6 = 6x \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} y_1 = 6x \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} y_2=-2(x-1)+6 = -2x+2+6 = -2x+8 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} y_2=-2x+8 \end{eqnarray*}$

Versuche es wenigstens nachzuvollziehen...

Ibn Batuta

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