K ist Körper, V ein K-VR und M Teilmenge: Lin. Abh. von M

29.11.2010, 20:07

Hans Peter

K ist Körper, V ein K-VR und M Teilmenge: Lin. Abh. von M

Hallo liebe Helfer!

Ich habe folgendes Problem:

Ich soll zeigen, dass M genau dann lin. unabh. ist, wenn $\begin{eqnarray*} \forall i \in \left\{ 1,...,n-1\right\} \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} <v_{1} ,...,v_{i}> \cap <v_{i+1},...,v_{n}> = {0} \end{eqnarray*}$

Dabei ist: K ein Körper, V ein K-VR und M = $\begin{eqnarray*} <v_{1},...,v_{n}> \subseteq V \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge mit $\begin{eqnarray*} 0 kein \in M \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen sind leider SEHR bescheiden!

Ich weiß nur:
(allgemein) $\begin{eqnarray*} v_{i}] \end{eqnarray*}$ ist linear unabhängig wenn die triviale Darstellung von $\begin{eqnarray*} 0 \in V \end{eqnarray*}$ die einzige Lin.kombi ist, die 0 darstellt.

Nun versuche ich i-wie auf die Aufgabe einzugehen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{b=1}^i x_{b}\cdot v_{b} \cap \sum\limits_{b=i+1}^n x_{b}\cdot b_{b} = 0 \end{eqnarray*}$

Weiter im Text:
´
ich würde die Mengen gerne zusammenfassen, doch ich weiß nicht wie! unglücklich

Ich habe i-wie das Gefühle mein Anstz ist doof. Kann mir bitte Jmd. ein wenig auf den richtigen Weg bringen.....

Danke schon mal!

Edit (jester.): Latex-Fehler behoben

29.11.2010, 20:31

Hans Peter

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir denn keiner helfen??? unglücklich

29.11.2010, 20:44

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte bitte

Zitat:

Doppelpostings, die nur dazu dienen, ein Thema schon nach kurzer Zeit "in Erinnerung zu rufen" und nach oben zu pushen. Ein bisschen Geduld muss man als Fragesteller schon aufbringen.

aus dem Prinzip "Mathe online verstehen!"

Alle Helfer sind hier freiwillig und wenn jemand helfen möchte wird er das tun. Üblicherweise bleibt hier auch kein Beitrag lange unbeantwortet, aber ein bisschen Geduld musst du schon mitbringen.

Schonmal ein Tipp zu der Richtung $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \langle v_1,...,v_i \rangle \cap \langle v_{i+1},...,v_n\rangle = \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} v \in \langle v_1,...,v_i \rangle \cap \langle v_{i+1},...,v_n\rangle \end{eqnarray*}$ . Dann liegt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ insbesondere in beiden Erzeugnissen und du findest also zwei Darstellungen von v. Durch die Rechenoperation $\begin{eqnarray*} v-v \end{eqnarray*}$ findest du so auch eine Darstellung für den Nullvektor. An dieser Stelle kannst du dann die lineare Unabhängigkeit ins Spiel bringen.

29.11.2010, 21:19

Hans Peter

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr für die Hilfe! smile

Und: Tut mir sehr Leid, dass ich innerhalb kurzer Zeit wieder um Hilfe gebeten habe... Ab jetzt tu ich das nicht mehr! smile

Nur leider hilft mir dieser Tipp nicht so.
Er hat mir nur geholfen zu verstehen, oder einzusehen, dass V aus 2 Mengen besteht.....

Aber ich versuche es mal anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} <v_{1},...,v_{i}-(v_{i+1},...,V_{n})> = 0<br /> <=> <v_{1},...,v_{i}-v_{i+1}-....-v_{n}> = 0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt? ...Bestimmt habe ich es wieder falsch verstanden... unglücklich

29.11.2010, 21:28

Hans Peter

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah! Und da $\begin{eqnarray*} 0 kein \in M \end{eqnarray*}$ ist, kann v_{i} nicht = 0 sein!!!!
Also muss es - was von vorne rein quais klar war - ein a_{i} geben, welches = 0 ist!

$\begin{eqnarray*} <a_{1},...,a_{i}-a_{i+1}-...-a_{n}> \cdot <v_{1},...,v_{i}-_{i+1}-...-v_{n}> = 0 \end{eqnarray*}$

Also musste ich jetzt zeigen: $\begin{eqnarray*} < a_{i} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} < a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$

Dann: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n-1 a_{i}\cdot v_{i} = \sum\limits_{i=1}^n a_{i}\cdot v_{i} = 0 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} v_{i} \end{eqnarray*}$ lin. unabh. $\begin{eqnarray*} => a_{1}=...=a_{n-1} \end{eqnarray*}$

Ist es das denn okay?

29.11.2010, 21:42

Potzfritz

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielleicht darf ich mich mal mit einschalten- auf die Gefahr hin, dass das alles Quatsch ist, was ich schreib... ich bin nämlich auch noch mit der Aufgabe zugange...

Also ich würde dann jetzt sagen:

dann gilt insbesondere:
$\begin{eqnarray*} v \in <v_{1},...,v_{i}> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v\in <v_{i+1},...,v_{n}> \end{eqnarray*}$
also
I $\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{k=1}^i \lambda_{k} v_{k}, \lambda \in K, v_{i} \in <v_{1},...,v_{i}> \end{eqnarray*}$
II $\begin{eqnarray*} \lambda_{k} v_{k}, \lambda \in K, v_{i} \in <v_{i+1},...,v_{n}> \end{eqnarray*}$

III v-v=0

So, dann würde ich jetzt in III einsetzen:
$\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{k=1}^i \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{k=i+1}^n \end{eqnarray*}$ =0

wobei ich mir gerad spätestens beim letzten Schritt sehr unsicher werd, ob ich das überhaupt so machen kann (beide Summen = v setzen....)

Naja, also dann wäre noch v_{i} ungleich 0 und damit müsste evtl lamda=0 sein- und damit wäre das ganze linear unabhängig- aber die Ideen sind noch nicht so ausgereift

Erstmal wäre meine Frage:
ist das denn irgendwie ansatzweise überhaupt was Richtiges, was ich da mache- oder kompletter Blödsinn?!
(Wenn's kompletter Quatsch ist- sorry für die Störung- und ich halt besser meine Klappe! :p )

29.11.2010, 21:43

Potzfritz

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte eigentlich folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{k=1}^i \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=i+1}^n \end{eqnarray*}$ =0

29.11.2010, 21:45

Potzfritz

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh nein- mir ist noch eine Panne unterlaufen!

II $\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{k=i+1}^n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \lambda_{k} v_{k}, \lambda \in K, v_{i} \in <v_{i+1},...,v_{n}> \end{eqnarray*}$

So....

29.11.2010, 22:23

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe hier bisher nichts, was gut nachvollziehbar ist. Das ist mir auch letztes Semester als LA-Tutor aufgefallen: Viele Leute hatten wohl die richtigen Ideen, konnten sie aber nicht verständlich notieren.

Also: Wir haben als Voraussetzung $\begin{eqnarray*} (v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig und wollen zeigen, dass für jedes $\begin{eqnarray*} 1\leq i \leq n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \langle v_1,...,v_i \rangle \cap \langle v_{i+1},...,v_n \rangle =\{0\} \end{eqnarray*}$ .

Also nehmen wir an wir haben ein $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v\in \langle v_1,...,v_i \rangle \cap \langle v_{i+1},...,v_n \rangle \end{eqnarray*}$ und möchten dann zeigen $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ .

Aus $\begin{eqnarray*} v\in \langle v_1,...,v_i \rangle \cap \langle v_{i+1},...,v_n \rangle \end{eqnarray*}$ bekommen wir zwei Darstellungen für $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ :
1) $\begin{eqnarray*} v=\sum_{k=1}^i a_kv_k \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} v=\sum_{k=i+1}^n a_kv_k \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} 0=v-v=\sum_{k=1}^n a_kv_k \end{eqnarray*}$ . Jetzt könnt ihr aber sicherlich die Voraussetzung der linearen Unabhängigkeit anbringen.

Für die andere Richtung kann man zum Beispiel einen Widerspruchsbeweis machen: Nehmt an $\begin{eqnarray*} (v_1,....,v_n) \end{eqnarray*}$ ist linear abhängig (unter der Voraussetzung für jedes $\begin{eqnarray*} 1\leq i \leq n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \langle v_1,...,v_i \rangle \cap \langle v_{i+1},...,v_n \rangle =\{0\} \end{eqnarray*}$ ). Es gibt also Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ , nicht alle Null, sodass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_kv_k=0 \end{eqnarray*}$ . Nehmt ohne Einschränkung an, dass $\begin{eqnarray*} a_1 \neq 0, ~ a_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$ (warum geht das?) und folgert daraus, dass $\begin{eqnarray*} \langle v_1 \rangle \cap \langle v_2,...v_n\rangle \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ , was einen Widerspruch liefern sollte.

29.11.2010, 22:44

Potzfritz

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dankeschön, soweit! Augenzwinkern

Naja, aber ansatzweise hatte ich das doch so geschrieben oder nicht? Wo lag denn das Problem- dass ich nicht in dieses wie ich sagen muss- doch viel hübschere (und hilfreichere) Gebilde als meins- umgeformt hab?
$\begin{eqnarray*} 0=v-v=\sum_{k=1}^n a_kv_k \end{eqnarray*}$

...ich weiß, mir ist auch beim Berichtigen nochmal ein Fehler unterlaufen- das sollte natürlich 0 = v-v heißen (und nicht v=v-v)...

...und dass ich 10000-mal berichtigen musste war natürlich auch nicht besonders glücklich, aber lies sich dann hier nicht mehr anders retten....

naja, wie dem auch sei...
damit M linear unabhängig wäre, dürfte es nur die triviale Lösung geben, also $\begin{eqnarray*} \lambda_{k} \end{eqnarray*}$ (für alle k) =0 sein, stimmts?
Und das ist deshalb der Fall, weil v_{k} ungleich 0 ist, (da gegeben ist: 0 ist nicht Element von M).
Also wäre damit die Richtung meiner Meinung nach bewiesen! (?)

Und die andere Richtung muss ich noch ausprobieren!

29.11.2010, 23:06

Potzfritz

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja... für die Gegenrichtung (lin. unabhängig --> $\begin{eqnarray*} <v_{1} ,...,v_{i}> \cap <v_{i+1},...,v_{n}> = \end{eqnarray*}$ {0} ) würde ich ja jetzt folgendes sagen:

angenommen $\begin{eqnarray*} (v_1,....,v_n) \end{eqnarray*}$ ist linear abhängig (unter der Voraussetzung für jedes $\begin{eqnarray*} 1\leq i \leq n \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \langle v_1,...,v_i \rangle \cap \langle v_{i+1},...,v_n \rangle =\{0\} \end{eqnarray*}$ ).

Es gibt also Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_1,...,a_n \end{eqnarray*}$ , nicht alle Null, sodass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_kv_k=0 \end{eqnarray*}$ .

sei also $\begin{eqnarray*} a_1 \neq 0, ~ a_2 \neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_kv_k \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \sum_{k=3}^n a_kv_k \end{eqnarray*}$

warum geht das? Ja, da würde ich jetzt nur sagen- das ginge, wenn v = 0 sein dürfte...

also laut obiger Gleichung müsste $\begin{eqnarray*} v_{1} = v_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ sein, was einen Widerspruch darstellt zu $\begin{eqnarray*} \langle v_1 \rangle \cap \langle v_2,...v_n\rangle \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ . Denn mit $\begin{eqnarray*} v_{1} = v_{2} = 0 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \langle 0 \rangle \cap \langle 0,v_3...v_n\rangle = \{0\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

29.11.2010, 23:50

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Entscheidend ist, sich zu überlegen, warum $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ nicht Null sind. Dann stelle $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n a_kv_k=0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ um. Ich glaube noch mehr Tipps kann man aber nicht mehr geben, ohne die Aufgabe zu lösen.

Noch kurz zu der ersten Richtung, dort hast du gefolgert, dass alle $\begin{eqnarray*} a_k=0 \end{eqnarray*}$ sind. Das kannst du wieder in deine Darstellung von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ einsetzen und erhältst dann, dass $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ ist und bist in der Tat fertig.

30.11.2010, 00:30

Potzfritz

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay,... ich habe gerade festgestellt- bei meinem letzten Post war ich ja glaub ich total durch den Wind- und hab Sachen gezeigt, die ich gar nicht zeigen wollte - und eigentlich auch nicht konnte...... oder?! (Es ist schon spääät...)

Also jetzt neu:

Ich stelle nach $\begin{eqnarray*} v_{1} \end{eqnarray*}$ um!
Und erhalte:
$\begin{eqnarray*} v_{1}= - \frac{ a_{2} v_{2} + \sum\limits_{k=3}^n a_{k} v_{k} }{ a_{1} } \end{eqnarray*}$

nun habe ich ja festgesetzt (zwecks lin. Abhängigkeit....) dass $\begin{eqnarray*} a_{1} \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2} \neq 0 \end{eqnarray*}$
--> und wenn man eine Zahl $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ durch eine Zahl $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ teilt, dann kommt immer eine Zahl $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ raus
==> also muss auch $\begin{eqnarray*} v_{1} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein!

Dann wäre aber eben
$\begin{eqnarray*} \langle v_1 \rangle \cap \langle v_2,...v_n\rangle \neq \{0\} \end{eqnarray*}$ , was einen Widerspruch zu unserer Vorgabe darstellt!

So, jetzt erscheint es mir logisch...?!
Stimmts auch?

Vielen, vielen Dank für die viele Geduld + Hilfe!! smile

01.12.2010, 07:15

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so hatte ich mir das überlegt.

Neue Frage »

Antworten »

K ist Körper, V ein K-VR und M Teilmenge: Lin. Abh. von M

Verwandte Themen