Jede Permutationsmatrix ist Produkt endlich vieler elementarer Permutationmsatrizen |
| 29.11.2010, 21:08 | foggy80 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Jede Permutationsmatrix ist Produkt endlich vieler elementarer Permutationmsatrizen Also, Permutationsmatrizen sind Matrizen die in jeder Zeile und Spalte nur eine Eins haben und sonst nur Nullen. Elementare Permutationsmatrizen sind Einheitsmatrizen, bei denen zwei Spalten/Zeilen getauscht wurden. So, nun muss ich zeigen dass Jede Permutationsmatriz das Produkt einer solchen elementaren P.M. ist. Stellt man sich die ganze Sache vor, erscheint es einem logisch dass der zu zeigende Umstand wahr ist. Jedoch hab ich noch keinen Ansatz wie ich das auf dem Papier zeigen soll. Also, wir multiplizieren eine Einheitsmatrix mit einer elementaren Permutationsmarix von links. Das heißt, es werden zwei Zeilen der Einheitsmatrix vertauscht - das Produkt ist also die elementare Permutationsmatrix selbst. Von rechts multipliziert ist es mit einer Spaltenvertauschung analog. Nun, dieses erste Produkt kann man nochmal mit einer elementaren Permutationsmatrix multiplizieren und ich bin mir sicher, dass man durch endlich vielen elementaren Permutationsmatrizen dann jede Permutationsmatrix als Produkt darstellen kann, da durch die Definition einer Permutationsmatrix, nämlich eine 1 in jeder Zeile/Spalte und sonst nur Nullen, es eben eine Einheitsmatrix ist mit vertauschten Zeilen/Spalten. So, wie kann man das aber mathematisch korrekt zeigen dass dieser Umstand so ist? Vielen Dank, foggy |
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| 30.11.2010, 22:23 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du hast eine beliebige Permutationsmatrix A gegeben. Wenn du jetzt einen Algorithmus angeben kannst, der nur durch Multiplikation von geeigneten elementaren Permutationsmatrizen aus A die Einheitsmatrix macht, dann hast die geforderte Aussage gezeigt. |
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