Gleichung dritten Grades - bin am Verzweifeln

29.11.2010, 22:38

Frika

Gleichung dritten Grades - bin am Verzweifeln

Meine Frage:
Ich stehe hier vor einer Gleichung und weiß nicht weiter.

Die Gleichung lautet: r³pi = 1/3pia²(3r-a)

also:

r hoch 3 mal pi ist gleich ein Drittel mal pi mal a hoch 2 mal Klammer auf 3r minus a Klammer zu.

Ich muß nach a auflösen.

Meine Ideen:
pi kürzt sich gleich weg, so viel ist klar. Ich erhalte eine Gleichung dritten Grades. Diese kann ich mit Polynomdivision lösen, dazu muß ich aber eine Lösung erraten. Und genau da setzt es bei mir aus. Ich habe mich mittels Wertetabelle schon sehr nahe an das Ergebnis herangetastet, aber gefallen tut es mir noch nicht.

Nun - hat jemand eine zündende Idee für das Problem?

Gruß Frika

29.11.2010, 22:40

tigerbine

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RE: Gleichung dritten Grades - bin am Verzweifeln
Bitte Formeleditor. Wir wollen die Gleichung doch nicht erraten müssen.

29.11.2010, 22:44

Frika

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RE: Gleichung dritten Grades - bin am Verzweifeln
Formeleditor - was ist das bitte? verwirrt

29.11.2010, 22:48

tigerbine

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RE: Gleichung dritten Grades - bin am Verzweifeln
http://www.matheboard.de/formeleditor.php

29.11.2010, 22:55

Frika

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$\begin{eqnarray*} r^{2} \cdot {\pi } = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot a^{2} \cdot\left(3\cdot r- a\right) \end{eqnarray*}$

29.11.2010, 23:00

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} r^{2} \cdot {\pi } = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot a^{2} \cdot\left(3\cdot r- a\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^{2} = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot\left(3\cdot r- a\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3r^{2} = a^{2} \cdot\left(3\cdot r- a\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 = 3ra^{2} -a^3-3r^2 \end{eqnarray*}$

Sollst du das wirklich von Hand lösen Also a allgemein in Abhängigkeit von r?

Es sieht mir so nach einer Geo Aufgabe aus. Könnte der Ansatz schon falsch sein?

Sonst müsste man ein Näherungsverfahren nehmen, dass geht aber nur für konkretes r.

29.11.2010, 23:12

Frika

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Hallo Tigerbine,
Schön, daß du versuchst, mir zu helfen. smile

Es ist in der Tat eine Geometrie-Aufgabe.
Die Aufgabe lautet:
Aus einem Zylinder mit derm Radius r und der Höhe h ist ein Kegel ausgeschnitten, so daß die Grundfläche und Höhe beider Figur gleich sind.

Aufgabe a):
h sei r.
Wie hoch muß ein zu einer Kugel vom Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den gleichen Rauminhalt besitzt?

Ich habe zur Lösung die Formel für den Zylinder mit der Formel des Kugelabschnittes gleichgesetzt, um so h (in meiner Gleichung nannte ich die Höhe a) herauszubekommen. Die Inhalte der beiden Figuren müssen ja gleich sein, also kann ich das als Gleichung so formulieren. Aber wie geht es dann weiter? Da bin ich zur Zeit ratlos.

Gruß
Frika

29.11.2010, 23:17

tigerbine

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Zitat:

Aus einem Zylinder mit derm Radius r und der Höhe h ist ein Kegel ausgeschnitten, so daß die Grundfläche und Höhe beider Figur gleich sind.

$\begin{eqnarray*} V_z=\pi r^2\cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_k=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_r=\frac{2}{3}\pi r^2\cdot h \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wie hoch muß ein zu einer Kugel vom Radius r gehöriger Kugelabschnitt sein, damit er den gleichen Rauminhalt besitzt?

Was ist ein Kugelabschnitt? (Kenne ich nicht)

Gleicher Rauminhalt wie was? Zylinder ohne Kegel?

29.11.2010, 23:56

Frika

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Ein Kugelabschnitt ist einfach ein gerade abgeschnittener Teil von einer Kugel

artikel.schuelerlexikon.de/Mathe/139.gif

Und von diesem Kugelabschnitt soll ich nun die Höhe berechnen, die er hat, wenn das Volumen des Kugelabschnittes gleich dem Volumen des Zylinders sein soll.
Der Kegel hat mit dieser Aufgabe offenbar nichts zu tun, sehe ich gerade. Es sind zwei Aufgaben. In der ersten soll ich das Volumen des Restkörpers berechnen, das geht problemlos, aber bei der zweiten Aufgabe hänge ich.

Wenn der Zylinderradius r gleich h ist, ist es ein ziemlich flacher Zylinder, also etwa eine Thunfischdose.

30.11.2010, 00:19

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} V_z=\pi r^2\cdot h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{Ku}= \frac{h^2 \pi}{3}(3r-h) \end{eqnarray*}$

30.11.2010, 19:16

Frika

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Also ich muß ja nach h (bzw. in meiner Formel: a) auflösen. Das macht mir Schwierigkeiten. Der Rest ist überhaupt kein Problem.

01.12.2010, 12:46

mYthos

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$\begin{eqnarray*} h_{zyl} = r \end{eqnarray*}$ .. (und durch pi kürzen)

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3r^3 = 3rh^2 - h^3 \end{eqnarray*}$

Wie schon gesagt:
Die Gleichung dritten Grades in h kann man nur dann lösen, wenn r zahlenmäßig bekannt ist und dies dann praktisch auch nur näherungsweise.

mY+

01.12.2010, 18:57

Frika

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Ok, hier noch eine weitere Überlegung von mir:

r sei eine beliebige (bekannte oder unbekannte) Zahl. Es handelt sich darum, durch Lösung der kubischen Gleichung den Faktor (in Abhängigkeit von r) zu bestimmen, mit dem r multipliziert werden muß, um zu h zu gelangen. Zu ermitteln ist also r in Abhängigkeit von h. Deshalb scheint es zulässig, zwecks Vereinfachung r gleichzusetzen mit 1.
Hiernach kommt man dann über das Näherungsverfahren evtl. zu einer Lösung im Bereich von 1,3472. Das bedeutet, h ist gleich 1,3472 r (?).
Aber ob es dazu eine verallgemeinerte Formel gibt, wie h in r auszudrücken wäre?

Gruß
Frika

01.12.2010, 22:59

mYthos

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Da h NICHT proportional zu r ist, scheitert der Ansatz, h mittels eines Faktors von r darzustellen. Das heisst also, für verschiedene r wird es im Allgemeinen auch verschiedene Faktoren dazu geben.
Das kannst du mit zwei verschiedenen Werten von r sofort verifizieren.

mY+

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