Beweis: |M x N| = |M| mal |N|

29.11.2010, 22:43

laphroaig

Beweis: |M x N| = |M| mal |N|

Hallo Board,
ich würde gerne eure Meinung hören, ob man diese Aussage so beweisen kann:

Seien M und N endliche, nicht leere Mengen, dann ist
$\begin{eqnarray*} |M \times N| = |M| \cdot |N| \end{eqnarray*}$

mein Versuch:
$\begin{eqnarray*} M = \{ m \in M | a < m < b\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N = \{ n \in N | c < n < d\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c,d \in N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} M = \{m_1, m_2, ..., m_i\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N = \{n_1, n_2, ..., n_j\} \end{eqnarray*}$

Weiterhin kann dann auf jedes $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_j \end{eqnarray*}$ abgebildet werden und auf jedes $\begin{eqnarray*} n_j \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ abgebildet werden. Somit gibt es $\begin{eqnarray*} m_i \cdot n_j \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten ein geordnetes Paar zu bilden. Diese Anzahl von Paaren kann mit $\begin{eqnarray*} |M \times N| \end{eqnarray*}$ beschrieben werden. Also gilt die obige Aussage.

Kann man das so machen oder fehlt mir da irgendwas? ich bin mir nämlich nicht ganz sicher ob das so korrekt und vollständig ist...

30.11.2010, 04:01

pseudo-nym

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RE: Beweis: |M x N| = |M| mal |N|

Zitat:

Original von laphroaig
$\begin{eqnarray*} M = \{ m \in M | a < m < b\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in M \end{eqnarray*}$

Das kann man nicht so machen, denn im allgemeinen gibt es auf M keine <-Relation.

Zitat:

Original von laphroaig
Weiterhin kann dann auf jedes $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_j \end{eqnarray*}$ abgebildet werden und auf jedes $\begin{eqnarray*} n_j \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m_i \end{eqnarray*}$ abgebildet werden.

Wie sieht denn diese Abbildung aus, die du da postulierst?

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Beweis: |M x N| = |M| mal |N|

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