Verteilungsfunktion und Erwartungswert brauche hilfe!

30.11.2010, 03:57

ravernet

Verteilungsfunktion und Erwartungswert brauche hilfe!

Hallo, habe ein Problem bei folgenden beiden Aufgaben:

1)

Eine stetige Zufallsvariable X hat die Dichte f mit
$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=\begin{cases} 8x^-3 , & \mbox{, } x \geq \mbox{ a} \\ 0, & \mbox{, } x< \mbox{ a} \end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

Dabei ist a > 0 ein Parameter. Berechnen Sie a, die Verteilungsfunktion FX und den Erwartungswert
E(X).

2)

Seien X und Y unabhangige ZVen, fur die $\begin{eqnarray*} E(X^2 ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(Y^2 ) \end{eqnarray*}$ existieren. Weiter sei c eine reelle Zahl.
Berechnen Sie: Cov(X + c; Y ).

Diese zwei Aufgaben wurden mir gestellt und ich habe wiedermals keine Ahnung wie ich anfangen soll. Bei Aufgabe 2) hätte ich evtl eine Idee, doch Aufgabe 1 ist mir derart schwer. Nicht einmal ein suchen in der Suchmaschine "google" konnte mir weiterhelfen.

Ich hoffe, dass Ihr mir dabei ein wenig helfen könnt.

Mfg

Alex

30.11.2010, 09:02

BarneyG.

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Die Aufgabe 1 klingt zunächst mal recht "hausbacken". Eigentlich müsste man nur wissen, wie die Verteilungsfunktion F(x) und der Erwartungswert E(X) einer stetigen Zufallsvariablen definiert sind.

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int_a^x \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$

Wir können in diesem Fall die Integration bei a beginnen (statt bei -oo ), weil die Dichtefunktion unterhalb a konstant gleich 0 ist. Jetzt setzt du die Funktion f(x) einfach ein und löst das Integral.

F(x) hängt jedoch noch von a ab. Allerdings ist a nicht beliebig. Denn es muss folgendes gelten

$\begin{eqnarray*} \int_a^{\infty} \! f(t) \, dt = 1 \end{eqnarray*}$

Und unter Zuhilfenahme der eben berechneten Funktion F(x) sollte es nun möglich sein, den "richtigen" Wert für a zu ermitteln.

Nun hat mich "Huggy" darauf hingewiesen, dass dies leider unmöglich ist! Das unbestimmte Integral divergiert nämlich für JEDES a.

Und deshalb ist die Aufgabe 1 in dieser Form UNLÖSBAR!

Man kann nun spekulieren, wie die Aufgabe gemeint sein könnte. Etwa a ist so zu wählen, dass die Dichtefunktion immer nicht-negativ ist. Und dann ein b zu bestimmen, ab dem die Dichtefunktion 0 sein soll. Vielleicht hat der Fragesteller da auch beim Einstellen der Aufgabe etwas vergessen ...

Wie dem auch sei. Wenn man die Aufgabe irgendwie so umgefummelt hat, dass man ein eindeutiges a bestimmen kann, dann geht es wie folgt weiter:

Wir setzen dieses a in die Lösung für F(x) ein, um die endgültige Gestalt dieser Funktion zu erhalten.

Kommen wir nun zum Erwartungswert. Dieser ist definiert als

$\begin{eqnarray*} E(X) = \int_a^{\infty} \! x * f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Na, und dieses uneigentliche Integral löst du doch jetzt mit Links. Unter der oben gemachten Einschränkung natürlich, dass man die Dichtefunktion irgendwie geeignet modifiziert.

Damit ist die Aufgabe 1 erledigt. Und weil du bei Aufgabe 2 eine Idee hast, will ich da erst mal abwarten, wie die sich entwickelt. Falls du damit nicht klar kommst, dann kannst du ja mal einstellen, wie weit du damit gekommen bist .... Big Laugh

30.11.2010, 23:42

ravernet

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Hab zu Aufgabe 2 folgendes:

Wenn X und Y Zufallsvariablen sind , für die E(x^2) und E (Y^2) existieren

Cov(X+c, Y ) := E((X+c − E(X)+c)(Y − E(Y )))

hoffe mal dass ich nicht ganz falsch liege...

nur wenn X und Y zufallsvariablen sind und c eine reele Zahl, wie kann ich dann diese Berechnung durchführen ? Hab mich doch bei der Berechnung etwas vertan und es nicht geschafft....

Danke schonmal für eure Hilfe.

Alex

01.12.2010, 00:28

ravernet

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Kleine Berichtigung meines Beitrages:

Wenn X und Y Zufallsvariablen sind , für die E(x^2) und E (Y^2) existieren

Cov(X+c, Y ) := E((X+c - E(X+c))(Y- E(Y )))

E(x) ist ja definiert als $\begin{eqnarray*} E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} \! x * f(x) \, dx \end{eqnarray*}$

und

E(y) würde dann ja sein:

$\begin{eqnarray*} E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} \! y * f(y) \, dx \end{eqnarray*}$

und E(X+c) ist dann ja:

$\begin{eqnarray*} E(X+c) = \int_{-\infty}^{\infty} \! (x+c) * f(x+c) \, dx \end{eqnarray*}$

demnach wäre:

$\begin{eqnarray*} Cov(X+c, Y ) := E((X+c - \int_{-\infty}^{\infty} \! (x+c) * f(x+c) \, dx)* (Y-\int_{-\infty}^{\infty} \! y * f(y) \, dx))) \end{eqnarray*}$

brauche ich zum Berechnen dieser Funktion nicht zuerst eine Dichtefunktion ? Sonst weiß ich doch gar nicht in welcher Form ich das berechnen soll ?

Hoffe ich liege nicht ganz daneben... bitte den vorherigen Eintrag von mir ignorieren smile

Bitte weiterhelfen!

Mfg

Alex

01.12.2010, 08:59

BarneyG.

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In der Aufgabe 2 ist doch gar nicht gesagt, dass die Zufallsvariablen X und Y stetig sein müssen. Sie können doch auch diskret sein! Und dann haben wir keine Dichtefunktion.

Aber du hast ja schon ganz richtig mit der Definition der Kovarianz angefangen:

Zitat:

Cov(X+c, Y ) := E((X+c - E(X+c))(Y- E(Y )))

Jetzt beachtest du, dass man eine Konstante aus dem Erwartungswert "herausziehen" darf

E(X+const) = E(X) + const

Und wenn du das beherzigst, tritt eine bekannte Eigenschaft der Kovarianz zutage. Big Laugh

Gfs. müsste man sich noch Gedanken über die EXISTENZ der Kovarianz machen.

zu Aufgabe 1:

Ich hoffe, du hast bemerkt, dass ich meinen ersten Beitrag noch einmal editiert habe! Hast du denn mal nachgeschaut, ob du die Dichtefunktion korrekt eingestellt hast? Oder ob die Aufgabe vielleicht noch einen Zusatz hat, den du uns verschwiegen hast? Big Laugh

01.12.2010, 10:04

ravernet

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Hallo Barney,

ja ich habe gesehn, dass du deinen Beitrag bearbeitet hattest.
Ich habe die Aufgabe(n) so abgeschrieben, wie sie auf meinem Zettel zu finden siind, es fehlen also keine Informationen.

was ich dabei nur nicht verstehe: Anscheinend wurde diese Aufgabe vor einem Jahr als Klausur gestellt, von daher finde ich es seltsam, dass sie in dieser Form nicht lösbar ist.

Zu Aufgabe 2:

Cov(X+c, Y ) := E((X+c - E(X+c))(Y- E(Y )))

E(X+c) = E(X) + const

würde dann folgendes sein:

Cov(X+c, Y ) :=E((X+c - E(X)+c))(Y-E(Y)))

Laut Wikipedia sei:

Ist c eine konstante Zufallsvariable, dann ist

Cov(X,c) = 0

also bliebe nur Cov(Y) über?

01.12.2010, 10:48

ravernet

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RE: Verteilungsfunktion und Erwartungswert brauche hilfe!

Zitat:

Original von ravernet

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=\begin{cases} 8x^-3 , & \mbox{, } x \geq \mbox{ a} \\ 0, & \mbox{, } x< \mbox{ a} \end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

hoffe man konnte das richtig sehen, dass das 8x (hoch) -3 heißt......

01.12.2010, 11:13

Huggy

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RE: Verteilungsfunktion und Erwartungswert brauche hilfe!
Das war nicht erkenntlich.

So ist das Integral konvergent und damit die Aufgabe lösbar.
Wie man es macht: siehe BarneyG.

01.12.2010, 13:52

BarneyG.

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zu Aufgabe 1:

Na, da bin ich ja erleichtert, dass sich die Sache mit der Dichtefunktion so einfach aufgelöst hat! Big Laugh

Hast du denn das a jetzt bestimmen können? Und dann anschließend den Erwartungswert E(X)?

Kommen wir also zurück zur zweiten Aufgabe.

Zitat:

also bliebe nur Cov(Y) über?

Das ist schon deswegen Mumpitz, weil die Kovarianz immer ZWEI Variablen benötigt.

Du hast den Ansatz doch schon vollkommen richtig hingeschrieben:

Zitat:

Cov(X+c, Y ) := E((X+c - E(X+c))(Y- E(Y )))

Dann begehst du aber leider einen Vorzeichenfehler

= E((X+c - E(X)-c) (Y-E(Y)))

Jetzt fällt die Konstante c aus dem ersten Ausdruck heraus ...

Na, und damit bist du doch schon fast am Ende der Aufgabe angelangt! Big Laugh

01.12.2010, 15:35

ravernet

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Ich danke euch beiden für eure Hilfe,

habe jetzt Aufgabe 1 und Aufgabe 2 erfolgreich lösen können smile

Bin auf alle nötigen Ergebnisse gekommen,

vielen Dank!

Alex

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