Integral über mehrfach zusammenhängende Gebiete

30.11.2010, 11:50	Gregor III	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über mehrfach zusammenhängende Gebiete Hallo, ich habe eine Frage zu dem im Titel benannten Thema. Diese Definition habe ich gefunden: Seien $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ , . . . , $\begin{eqnarray} \gamma_n \end{eqnarray}$ geschlossene, doppelpunktfreie, stustückweise glatte, positiv (d.h. entgegen dem Uhrzeigersinn) orientierte Kurven, wobei die Kurven $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ , . . . , $\begin{eqnarray} \gamma_n \end{eqnarray}$ im Innern von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ liegen und weder sich gegenseitig noch die Kurve $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ berühren. Die Punkte, die im Innern von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , aber außerhalb der von den Kurven $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma_2 \end{eqnarray}$ , . . . , $\begin{eqnarray} \gamma_n \end{eqnarray}$ umschlossenen Gebiete G1, G2, . . . , Gn liegen, bilden ein n-fach zusammenhängendes Gebiet G. f(z) sei in G einschließlich der Ränder $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ ,..., $\begin{eqnarray} \gamma_n \end{eqnarray}$ (d.h. etwa in einem G und die Randkurven $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \gamma_1 \end{eqnarray}$ , . . . , $\begin{eqnarray} \gamma_n \end{eqnarray}$ enthaltenden, n-fach zusammenhängenden Gebiet D) analytisch. Dann gilt: $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! f(z) \, dz =\sum\limits_{k=1}^n k \int_{\gamma_k} \! f(z) \, dz \end{eqnarray}$ Nun fällt es mir schwer, sich das Ganze vorzustellen Ich umreiße mal kurz, wie ich das Ganze verstanden habe: In einem Gebiet G liegt die Kurve Gamma. In der Kurve Gamma liegen die Kurven Gamma_1,...,Gamma_n. Wobei sich diese Weder berühren, noch schneiden dürfen. Nun ist das Kurvenintegral der Funktion f(z) über die Kurve Gamma, gleich der Summe der Kurvenintegrale über die Wege Gamma_1,...,Gamma_n. Nun kommt das, wo ich nicht weiter weiß. Das würde ja bedeuten, dass die Summe über die Gamma_k Kurvenintegrale immer das selbe ergibt, egal wie viele Einzelwege enthalten sind. Danke schon mal.
30.11.2010, 11:51	Gregor III	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist noch ein k vom Formeleditor zu viel: $\begin{eqnarray} \int_\gamma \! f(z) \, dz =\sum\limits_{k=1}^n \int_{\gamma_k} \! f(z) \, dz \end{eqnarray}$

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