Topologie - Abschluss und Durchschnitt

30.11.2010, 12:16

hnky

Topologie - Abschluss und Durchschnitt

hallo,

ich möchte zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \overline {X\cap Y} \subset \overline X \cap \overline Y \end{eqnarray*}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray*} X,Y\subset K \end{eqnarray*}$ .

allerdings komme ich momentan noch nicht sehr weit:

Sei $\begin{eqnarray*} a \in \overline {X \cap Y} \end{eqnarray*}$

per definition bedeutet das ja, dass $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0: B(a,\epsilon) \cap (X\cap Y)=\varnothing \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} B(a,\epsilon) \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung von a ist, für die per definition gilt:
$\begin{eqnarray*} B(a,\epsilon)=\{x \in K | |x-a| < \epsilon\} \end{eqnarray*}$ .

ich muss dann ja irgendwie darauf kommen, dass $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0: B(a,\epsilon) \cap X=\varnothing \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0: B(a,\epsilon) \cap Y=\varnothing \end{eqnarray*}$ ,
doch leider scheitere ich gerade schon am anfang.

kann mir jemand einen tipp geben, wie ich hier vorgehen muss?

danke schonmal im voraus.

30.11.2010, 12:32

gonnabphd

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Hi hnky,

Es müsste natürlich überall $\begin{eqnarray*} B_\epsilon(a) \cap \ldots \ne \emptyset \end{eqnarray*}$ heissen (schau dir ggf. die Definition nochmal an). Kommst du damit schon weiter?

Gruss Wink

30.11.2010, 12:56

hnky

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stimmt, da hatte ich mir die definition falsch aufgeschrieben. anschaulich gesehen ist auch klar, dass es immer $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ heißen muss. daran hatte ich oben wohl nicht mehr gedacht.

ich glaube, das bringt mich schon ein gutes stück weiter.

ich versuchs mal:

$\begin{eqnarray*} a \in \overline {X \cap Y} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} => \forall \epsilon > 0: B(a,\epsilon) \cap (X\cap Y) \neq \varnothing \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>\exists b \in K: b\in B(a,\epsilon) \wedge b\in (X \cap Y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>b \in B(a,\epsilon) \wedge (b\in X \wedge b\in Y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>(b \in B(a,\epsilon) \wedge b\in X) \wedge (b \in B(a,\epsilon) \wedge b\in Y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => b\in B(a,\epsilon) \cap X \wedge b \in B(a,\epsilon) \cap Y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => B(a,\epsilon) \cap X \neq \varnothing \wedge B(a,\epsilon) \cap Y \neq \varnothing \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => \overline X \cap \overline Y \end{eqnarray*}$

wäre das so in ordnung, oder habe ich es mir zu leicht gemacht?

30.11.2010, 13:01

gonnabphd

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Jop, das ist richtig. Freude

30.11.2010, 13:26

hnky

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super, danke dir smile

die umgekehrte inklusion gilt aber nicht, oder?

wenn X und Y disjunkt sind, kann ich ja kein a finden, sodass $\begin{eqnarray*} B(a,\epsilon) \cap X \neq \varnothing \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} B(a,\epsilon) \cap Y \neq \varnothing \end{eqnarray*}$ gleichzeitig erfüllt sind.

30.11.2010, 13:33

gonnabphd

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Zitat:

die umgekehrte inklusion gilt aber nicht, oder?

Nein, im Allgemeinen nicht. z.B. $\begin{eqnarray*} X = (0,1), \; Y = (1,2) \end{eqnarray*}$ .

30.11.2010, 13:35

hnky

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alles klar, danke für die hilfe smile

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