Kegelstumpf-Höhe in Abhängigkeit vom Volumen

30.11.2010, 12:54	OnkelTetzlaff	Auf diesen Beitrag antworten »
Kegelstumpf-Höhe in Abhängigkeit vom Volumen Meine Frage: hallo ihr! Bin schon lange aus der Schule draußen. Habe aber ein Problem zu lösen und komm nicht weiter: Kann man die Höhe eines Kegelstumpfes nur aus der Grundfläche und dem Volumen errechnen? Meine Ideen: Hab versucht V = 1/3pih*(R²+Rr+r²) nach R umzustellen und wieder einzusetzen um anschließend auf h umzuformen. R²+Rr+r² sieht ja fast wie eine binomische Formel aus. Aber eben nur fast. Hilfe bitte?
01.12.2010, 01:15	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Volumen V ist von R, r und h abhängig. Wenn nur V und R gegeben sind, bleiben noch die 2 Variablen r und h übrig. Also ist eine eindeutige Umstellung nach h nicht möglich. Übrigens ist $\begin{eqnarray} R^2 + Rr + r^2 = \frac{R^3 - r^3}{R-r} \end{eqnarray}$ mY+
03.12.2010, 10:44	OnkelTetzlaff	Auf diesen Beitrag antworten »
hi und danke für die antwort. hab das problem warscheinlich falsch geschildert: eigentlich wollte ich den füllstand eines eimers in abhängikeit von der füllmenge errechnen. also der eimer ist mit r, R und h vorgegeben. in diesem soll nun aus dem volumen die höhe über r errechnet werden. hab zwischenzeitich die seite wolframalpha.com gefunden die die sache aber auch nur verkompliziert hat. vllt. hilft mir ja ja die umformung weiter. grüße
03.12.2010, 14:39	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, das mit dem Eimer ist doch ein ganz hausbackenes Problem. Der Eimer wir beschrieben durch R = der obere Radius der Eimeröffnung r = der untere Radius des Eimerbodens he = die Eimerhöhe Jetzt vervollständigen wir diesen Kegelstumpf zu einem Kegel, indem wir nach einen Kegel an den Eimerboden nach unten gerichtet anhängen. Dieser Kegel hat den Radius r ((Radius des Eimerbodens) und die Höhe h. Die berechnen wir jetzt: $\begin{eqnarray} \frac{h}{r} = \frac{(h + he)}{R} \end{eqnarray}$ Damit erhalten wir (1) $\begin{eqnarray} h = \frac{r he}{R - r} \end{eqnarray}$ Sei nun Vf das Füllvolumen. Diesem Füllvolumen entspricht die Füllhöhe hf und der Füllradius rf. Für den Radius des Füllvolumens erhalten wir wie vorhin: $\begin{eqnarray} \frac{h}{r} = \frac{(h + hf)}{rf} \end{eqnarray}$ Aufgelöst nach rf erhält man (2) $\begin{eqnarray} rf = \frac{(h + hf) * r}{h} \end{eqnarray}$ Nun können wir das Volumen Vf ausdrücken: (3) $\begin{eqnarray} Vf = \frac{1}{3} \pi * rf (he + h) - \frac{1}{3} \pi h * r \end{eqnarray*}$ Jetzt setzen wir einfach (1) und (2) in (3) ein und lösen nach hf auf. Und schon kennen wir die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Füllmenge ... Aber diese nette Fleißarbeit will ich jetzt natürlich OnkelTetzlaff nicht vorenthalten ... [edit]Ich habe die Formel (2) korrigiert.
06.12.2010, 11:04	OnkelTetzlaff	Auf diesen Beitrag antworten »
nochma danke für die hilfe! 2 sachen: 1. sollte es bei (2) in der klammer nicht heißen (h+hf)? 2. komm ich dann auf das hier. ist das richig? $\begin{eqnarray} <br /> hf = \frac{3Vf}{PiR} - \frac{r he}{R}<br /> \end{eqnarray*}$ Danke
06.12.2010, 14:44	BarneyG.	Auf diesen Beitrag antworten »
ad 1) Da hast du vollkommen recht! Ich habe die Formel entsprechend korrigiert. ad 2) Nö, mit deiner Formel bin ich nicht einverstanden. Wenn Vf = 0 ist, dann erhältst du einen negativen Füllstand. Und da glaube ich dann nicht dran ... Also, nochmal die Rechnung überprüfen!
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