Erwartungswert und Standardabweichung

30.11.2010, 14:08	Eichhörnchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Standardabweichung Meine Frage: Hallo, ich habe hier eine wahrscheinlich relativ einfache Frage...wäre lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte "Nehmen Sie an. dass der Lärmpegel (in dB) eines bestimmten PKW-Typs einer Normalverteilung unterliegt. In einer Stichprobe wurde der Lärmpegel von 1000 Fahrzeugen gemessen. Durch einen Fehler gingen alle Daten ausßer den folgenden verloren: Anzahl der Fahrzeuge mit einem Lärmpegel $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 71,62 dB: 879 Anzahl der Fahrzeuge mit einem Lärmpegel > 74,50 dB: 1 Aufgabe: Nehmen Sie an, die Daten seien repräsentativ für die Grundgesamtheit. Welche Werte müssen dann die Parameter "mü" und "sigma" haben? Meine Ideen: Mein eigener Ansatz war, dass ich 71,620.879+74,500,001 rechne und dann kommt 63,02 raus, aber das scheint mir nicht so ganz richtig. Aus den Definitionen die gefunden habe bin ich nicht schlau geworden..wäre dankbar für Hilfe.
01.12.2010, 16:08	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Aufgabe ist der Lärmpegel $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ normalverteilt mit noch zu bestimmendem Erwartungswert $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und der Standardabweichung $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ . Somit ist $\begin{eqnarray} X^{} = \frac{X - \mu}{\sigma} \end{eqnarray}$ standard-normalverteilt. Wenn also $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet, gelten die zwei Gleichungen $\begin{eqnarray} P \left( X \leq 71{,}62 \right) = 0{,}879 \ \ \Leftrightarrow \ \ P \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{71{,}62 - \mu}{\sigma} \right) = 0{,}879 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ P \left( X^{} \leq \frac{71{,}62 - \mu}{\sigma} \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \Phi \left( \frac{71{,}62 - \mu}{\sigma} \right) = 0{,}879 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P \left( X > 74{,}50 \right) = 0{,}001 \ \ \Leftrightarrow \ \ P \left( X \leq 74{,}50 \right) = 0{,}999 \ \ \Leftrightarrow \ \ P \left( \frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{74{,}50 - \mu}{\sigma} \right) = 0{,}999 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \ \ P \left( X^{} \leq \frac{74{,}50 - \mu}{\sigma} \right) \ \ \Leftrightarrow \ \ \Phi \left( \frac{74{,}50 - \mu}{\sigma} \right) = 0{,}999 \end{eqnarray}$ Mit der Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} \Phi^{-1} \end{eqnarray}$ (Quantile der Normalverteilung) kannst du nun nach den Argumenten auflösen und erhältst so nach kleiner Umformung ein lineares Gleichungssystem für $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray*}$ .
03.12.2010, 11:46	knopf	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön

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