Erweiterungskörper, Vektorraum - Beweisversuch

30.11.2010, 14:15

Ibn Batuta

Erweiterungskörper, Vektorraum - Beweisversuch

Hi,

eine Aufgabe, die ich aus einem Skript habe.
$\begin{eqnarray*} \textrm{L} \end{eqnarray*}$ sei der Erweiterungskörper von $\begin{eqnarray*} \textrm{K} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \textrm{V} \end{eqnarray*}$ sei ein $\begin{eqnarray*} \textrm{L-VR} \end{eqnarray*}$ mit Addition $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cdot_{\textrm{L}}: \textrm{L} \times \textrm{V} \rightarrow \textrm{V} \end{eqnarray*}$

Die Skalarmultipl. $\begin{eqnarray*} \cdot_{\textrm{L}} \end{eqnarray*}$ wird auf $\begin{eqnarray*} \textrm{K}\subseteq\textrm{L} \end{eqnarray*}$ eingeschränkt:
$\begin{eqnarray*} \cdot_{\textrm{K}}: \textrm{K} \times \textrm{V} \rightarrow \textrm{V} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (k,v) \mapsto k\cdot_{\textrm{L}} v \end{eqnarray*}$

Zeige: V sei mit + und $\begin{eqnarray*} \cdot_{\textrm{K}} \end{eqnarray*}$ ein K-VR.

________________

Ich weiß ja, daß $\begin{eqnarray*} \textrm{K} \end{eqnarray*}$ ein Teilkörper von $\begin{eqnarray*} \textrm{L} \end{eqnarray*}$ ist.

Frage:
Kann ich das irgendwie geschickt verwenden, sodass ich die Überprüfung von (V,+) als abelsche Gruppe und die Vektorraumaxiome bzgl. der Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} \cdot_{\textrm{K}} \end{eqnarray*}$ kürzen kann und nicht alle Axiome zeigen muß?

Wenn ja: wie?

Ibn Batuta

30.11.2010, 14:25

kiste

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(V,+) abelsche Gruppe ändert sich doch gar nicht wenn du den Körper einschränkst.

30.11.2010, 14:41

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von kiste
(V,+) abelsche Gruppe ändert sich doch gar nicht wenn du den Körper einschränkst.

Ja, richtig... Hatte auch diese Überlegung, war mir aber nicht sicher, ob das stimmt.

Wie sieht es bei der Skalarmultiplikation aus? Ist das nachstehend so in Ordnung?

$\begin{eqnarray*} \forall a, b \in K, v, w \in V: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textrm{1)} (a+b)\cdot_L v = a\cdot_L v + b\cdot_L v \in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textrm{2)} (ab)\cdot_L v = a\cdot_L(b\cdot_L v) \in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textrm{3)} a\cdot_L (v+w) = a\cdot_L v + a\cdot_L w \in V \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \textrm{4)} 1\cdot_L v = v \in V \end{eqnarray*}$

Dieser Passus wegen unendlicher Dummheit von mir gestrichen.

Ibn Batuta

30.11.2010, 14:52

kiste

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
Damit wäre $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein Körper.

Interessant...

30.11.2010, 14:59

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von kiste

Zitat: